【杭电2824】欧拉函数

最新推荐文章于 2019-08-12 00:07:28 发布

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本文介绍了一种使用欧拉函数计算指定范围内数值的方法，并提供了一个高效的算法实现。通过该方法可以快速计算从a到b所有整数的欧拉函数之和。

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F - F

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Description

The Euler function phi is an important kind of function in number theory, (n) represents the amount of the numbers which are smaller than n and coprime to n, and this function has a lot of beautiful characteristics. Here comes a very easy question: suppose you are given a, b, try to calculate (a)+ (a+1)+....+ (b)

Input

There are several test cases. Each line has two integers a, b (2<a<b<3000000).

Output

Output the result of (a)+ (a+1)+....+ (b)

Sample Input

     
       3 100

Sample Output

     
       3042 
     
     

     
     
      
       解析：（转）
      
      
       定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。
       　　　　例如：φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。
       性质：1.若p是质数，φ(p)= p-1.
       　　　2.若n是质数p的k次幂，φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质
       　　　3.欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)= φ(m)φ(n). 
       　　根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。 
       　　E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))
       　　　　= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)
       　　　　= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)
       在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）
       　　若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;
       　　若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);
       code：
       
       #include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=3000001;
int prime[N],isprime[N],num[N];
void oula()
{
	int t=0;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(isprime[i]==0){//i是质数 
		prime[t++]=i;	//记录
		num[i]=i-1;//欧拉函数性质 
		}
		for(int j=0;j<t&&i*prime[j]<N;j++){
			isprime[i*prime[j]]=1;//i*prime[j]相当于n,prime[j]是n的质因子 
			if(i%prime[j]==0)
			num[i*prime[j]]=num[i]*prime[j];
			else
			num[i*prime[j]]=num[i]*(prime[j]-1);
		} 
	}
}
int main()
{
	int a,b;
	oula();
	while(~scanf("%d%d",&a,&b)){
		long long sum=0;
		for(int i=a;i<=b;i++)
		sum+=num[i];
		printf("%lld\n",sum);
	}
	return 0;
 }