矩阵快速幂-- 挑战程序设计

最新推荐文章于 2020-05-21 17:23:03 发布

idealistic

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分类专栏： ==数学and思维== 懵懂(￣o￣) . z Z 编程语言快速幂

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本文介绍了一种利用矩阵乘法和快速幂算法求解特定数学问题的方法，具体为计算(3+√5)^n结果的小数点前三位数字。通过定义特定的2x2矩阵并使用快速幂技巧高效计算高次幂，最终获取所需结果。

问题

这次的问题是让你找出式子(3 + √5)ⁿ结果的小数点前三位数字。
例如：当n = 5时，(3 + √5)ⁿ = 3935.73982... 那么答案是 935。
当n = 2时，(3 + √5)ⁿ = 2.4164079... 那么答案是 027。

输入
第一行是测试用例的数目T。紧接着是T个测试用例，一行一个。每一个测试用例包含一个正整数n。

输出
对于每一个测试用例，你应输出：
Case #X: Y
X表示第几个测试用例，Y表示(3 + √5)ⁿ结果的最后三位整数数字。如果结果的整数少于3位则补零，保证Y总是3位。

约束

1 <= T <= 100
小测试数据
2 <= n <= 30
大测试数据
2 <= n <= 2000000000

例子
输入
2
5
2
输出
Case #1: 935
Case #2: 027

矩阵乘法运算：

在计算机中，一个矩阵说穿了就是一个二维数组。一个n行m列的矩阵可以乘以一个m行p列的矩阵，得到的结果是一个n行p列的矩阵，其中的第i行第j列位置上的数等于前一个矩阵第i行上的m个数与后一个矩阵第j列上的m个数对应相乘后所有m个乘积的和。比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。其中，结果的那个4等于2*2+0*1：

code;

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>//分配动态数组
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<queue>
using namespace std;
typedef vector<int> vec;一维数组
typedef vector<vec> mat;嵌套二维数组
typedef long long ll;
const int M=10000;
//计算A*B
mat mul(mat& A,mat& B)//两个矩阵相乘
{
    mat C(A.size(),vec(B[0].size()));//第一个矩阵的行 第二个矩阵的列
    for(int i=0;i<A.size();i++){
        for(int k=0;k<C.size();k++){
            for(int j=0;j<B.size();j++){
                C[i][j]=(C[i][j]+A[i][k]*B[k][j])%M;
            }
        }
    }
    return C;
}
//计算A^n
mat pow(mat A,ll n)
{
    mat B(A.size(),vec(A.size()));元素个数
    for(int i=0;i<A.size();i++){
        B[i][i]=1;数组B初始化为1
    }
    while(n>0){
        if(n&1) B=mul(B,A);
        A=mul(A,A);
        n>>=1;//除以2
    }
    return B;
}

const int Mod=1000;

int n;
void solve()
{
    mat A(2,vec(2,0));//vec(2,0)两个元素，初始化为0
    A[0][0]=3;A[0][1]=5;
    A[1][0]=1;A[1][1]=3;
    A=pow(A,n);
    printf("%03d\n",(A[0][0]*2+Mod-1)%Mod);
}
int main()
{
    int t,kase=0;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        printf("Case #%d: ",++kase);
        solve();
    }
    return 0;
}