【POJ1061】青蛙的约会

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

题解：其中一种方式是利用相对性，把速度慢的青蛙看成静止，而速度快的青蛙去追赶速度慢者。设m速度快 n速度慢，那么他们开始距离就为dist=（y-x+l)%l。设m青蛙的坐标为0，n青蛙坐标为dist且设经过k时间，跑了i圈之后m青蛙跑到了n青蛙的坐标。那么就有下列式子：
 （m-n)*k==l*i+dist;
假如p为（m-n）与l的最大公约数gcd（m-n，l），那么若dist%p不为零，直接就可以判断为不可行的。而且dist%p为零时是一定可行的（实在不懂为啥这样判断，貌似跟扩展欧几里得有关，有时间在好好研究研究）
对扩展欧几里得，首先给出三个定理
定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使d = a*x+ b*y。

定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。
声明一下——式子ax + by = c 和 ax ≡ c (mod b)是可以相互转化的。
详细题解看http://fantasygroup.blog.163.com/blog/static/14058422320105403748764/
或http://blog.youkuaiyun.com/chenzhenyu123456/article/details/49209357
#include<stdio.h>
int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
	return a;
	return gcd(b,a%b);
}

int main()
{
	long long x,y,m,n,l,d;
	while(~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l))
	{
	if(m>n)
		d=(y-x+l)%l;
		else
		{
			d=(x-y+l)%l;
			int t=m;
			m=n;
			n=t;
		}
		if(m==n||d%gcd(m-n,l)!=0)
		{
			printf("Impossible\n");
			continue;
		}
		long long k=0;
		for(int i=0;;i++)
		{
			if((i*l+d)%(m-n)==0)
			{
				k=(i*l+d)/(m-n);
				break;
			}
		}
		printf("%lld\n",k);
	}
	return 0;
}