分治与递归

分而治之

从国家治理到体育竞赛，分治的思想贯穿到人类生活生产的很多方面。行省制的建立就是分而治之思想的体现，一个庞大的帝国幅员辽阔人口众多，单单依靠中央政府的直接管理肯定会有鞭长莫及的情况。于是依靠老祖先的智慧有了行省制、郡县制、百户千户制，大大提高了国家的治理能力。世界杯选拔按大洲分赛区、班级里分学习小组…

分治策略

分治问题可以总结为以下执行策略：

1. 一个大问题可以分解为小问题，小问题与大问题的解结构相同，但是小问题的规模更小。
2. 用递归策略来解决小问题。
3. 将小问题的解合并组成大问题的解。
   以上策略说明分治方法的重点在于递归，分治算法的核心就是递归，分治的定义里面就有递归。分治把大问题分解成小问题，逐级分解到极容易的小问题，所以分治问题另外两个重点就是分解和合并过程。

递归表达式

T(n) = aT(n/b)+f(n)
a:每次分解的子问题的个数,理论上大于等于1。
b:问题分治的规模的缩小系数，理论上大于1。
f(n):分解和合并所用成本。
递归表达式的解法有递归树法、替换解法、大师解法。

递归树法

以T(n) = T(n/4)+T(n/2)+n^2为例。

T(n)= n^2* (1+5/16+(5/16)^2+ (5/16)^3…) = θ(n^2);

替代解法

替换解法的步骤如下：

1. 猜一个结果
2. 用数学归纳法带入验证
3. 求解公式里的系数的取值范围

替换法缺点明显，一次就猜到合适的结果不太容易特别是对于比较复杂的递归表达式。

大师解法

这个名字起得霸气，反正不是我起得，大师解法用法很广功能强大，名副其实？
以递归表达式T(n) = aT(n/b)+f(n)推起:

由以上结果推导出T(n)至于两部分有关，a,b是常量，第一部分是已决定的，由渐进表示的性质可得，T(n) = max(第一部分，第二部分)；
这里有四种情况：小于，大于，等于，无法比较。
如果f(n)<θ(n^logb^a)则T(n) = θ(n^logb^a)；
如果f(n)>θ(n^logb^a)则T(n)= f(n)；
如果f(n) = θ(n^logb^a) 带入θ(n^logb^a)到第二部分，化简可得
T(n) =n^logb^a *logbⁿ
无法比较的情况：不做介绍。

举例

乘方aⁿ
分析：如果n为偶数，aⁿ = a^n/2*a^n/2,如果n为奇数，
aⁿ = a^n/2*a^n/2 x a;
所以递归表达式为 T(n) = T(n/2) + θ(1);
根据大师解法a = 1,b = 2,所以第一部分等于θ(1),于是使用的第二种情况f(n) = θ(n^logb^a),所以T(n) = logn;

n个球找一个次品
n个球的重量一样除了一个次品例外，一杆秤要求以更快的速度找到这个次品。
方法一：容易想要此题类似于折半查找，把球分成两等分(多出来一个也不影响)，把其中一份再分成两等分，如果这两等分一样，次品在另外一半球里。这样就可以知道这个次品是重了还是轻了，类似于不断分下去直到找到这个次品。递归表达式为
T(n) = T(n/2) +θ(1); 所以T(n) = logn;
方法二：第一种方法看上去已经很优秀了，但是还有更好的方法。
把球三等分，称其中的两份就能确定次品在那一堆里。
T(n) = T(n/3) + θ(1); 所以T(n) = log3ⁿ;