这篇笔记探讨了三个经典的递归问题：汉诺塔、平面分割和约瑟夫环。对于汉诺塔问题，通过递归策略证明了解决的最优性；平面分割中，阐述了n条直线最多能划分平面的数量；最后详细分析了约瑟夫环问题，并用二进制思想给出了解决方法。
这部分主要讲了三个递归问题：汉诺塔、平面分割、约瑟夫环，这三个问题都比较常见，其新颖之处在于对问题的分析假设和严谨的证明，特别是第三个问题作出了较深入的分析。
一、The Tower Of Hanoi
假设有A、B、C三根柱子，将n个盘子(由大到小排序)从A移到B且中间不能出现大盘在小盘上面的这种情况。这个问题很容易想出递归的解法。若我们设为将n个盘子从一根柱子移到另一根柱子所需要的最少步数，我们的结论是
，但是如何证明这是最优的呢？可以转化为下面两步求解。
1、证明。这个好办，我们可以将n-1个盘子移到第C(
)，然后将最大的盘移到B(1)，最后将C中n-1个盘移动到B(
)，即总可以再
时间内办到。
2、证明 。考虑移动最大的盘，前提是必须将n-1个盘移动到C(
)，易知至少需要次移动
次。由于移动过程中每个盘都可以再空柱和A之间移动任意次，所以可能为大于。
综上可证明我们的结论，用数学归纳法易知。
二、Lines In The Plane
n条直线最多能把平面划分成几个部分。我们设为n条直线最多能划分是平面数ÿ
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