神秘的0x5f3759df之卡马克的开平方算法

最新推荐文章于 2025-10-07 15:30:38 发布

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这篇博客探讨了John Carmack的快速开平方根算法，该算法通过特定的初始猜测值0x5f3759df实现高效计算。尽管通常使用牛顿迭代法，但卡马克的技巧只需一次迭代就能达到Quake III所需的精度。数学家Chris Lomont对此进行了研究，尝试找到更优的猜测值，但最终仍不及卡马克原始数值的表现。

float kamake_sqr(float number) { long i; float x, y; const float f = 1.5F; x = number * 0.5F; y = number; i = *(long *) &y; i = 0x5f3759df - (i >> 1); y = *(float *) &i; y = y * (f - (x * y * y)); y = y * (f - (x * y * y)); return number * y; } main() { printf("sqr(100)=%f", kamake_sqr(100.0)); getch(); }

输出：sqr(100)=9.999964

算法里面求平方根一般采用的是无限逼近的方法，比如牛顿迭代法，

比如求5的平方根，选一个猜测值比如2，那么我们可以这么算
5/2 = 2.5; 2.5+2/2 = 2.25; 5/2.25 = xxx; 2.25+xxx/2 = xxxx ...

这样反复迭代下去，结果必定收敛于sqrt(5)

卡马克牛就牛在选择了0x5f3759df 这个开始值，使得迭代的时候收敛速度暴涨，对于Quake III所要求的精度10的负三次方，只需要一次迭代就能够得到结果。

附加一个小故事：

普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后觉得有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。卡马克真牛，他是外星人吗？

传奇并没有在这里结束。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。

最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。

Lomont为此写下一篇论文，"Fast Inverse Square Root"。