P1.关于从桶中取出黑白球的问题（转载）

《编程之美》黑白球的问题

问题：

有一个桶，里面有白球和黑球各100个，规则如下：

1. 每次随机从桶中取出两个球
2. 如果是两个同色的球，就再放入一个黑球
3. 如果是两个异色的球，就再放入一个白球

问：最后桶中只剩下一个黑球的概率是多少？

 

解法一：

我们可一个用一个项量 （a,b）=（黑球数量，白球数量）来表示桶中的黑球和白球的个数。从桶中取出球后，只可能是下列三种操作：

1. 取出的是两个黑球，则放回一个黑球：（-2， 0） + （1， 0） = （-1， 0）

1. 取出的是两个白球，则放回一个黑球：（0， -2） + （1， 0） = （1， -2）
2. 取出的是一黑一白，则放回一个白球：（-1， -1） + （0， 1） = （-1， 0）

根据上面的规则，我们可以发现：白球的数量变化情况只能是不变或者-2，也就是说，如果是100个白球，白球永远不可能是1个(单数)的情况，那么问题的解法就很简单了，就是只剩下黑球的概率为100%

 

解法二：

两个相同的球异或等于0，两个不同的球异或等于1

将黑球赋为0 白球赋为1.

可以作这样的抽象：每次捞出两个数字做一次异或操作，并将所得的结果丢回桶中。

就有可能是0 xor 1 xor 1 ……之类的情况，又因为异或满足结合律，上式可变为：

（0 xor 0 ……xor 0） xor （1 xor 1 ……xor 1），由于1和0都为偶数，两边都是100个，结果就是0，所以只能是黑球

 如果0 和 1都为奇数个，则结果为1

扩展问题:

1.如果桶中的球分别为99个，那么结果会怎样？

根据异或的结果 最后的球一定是白球

2.如果黑白球的数量不定，结果又会怎样？

a个白球 b个黑球

a为奇数时异或为1，a为偶数时异或为1

b无论奇偶都是0

所以当白球为奇数时，最后一定取出白球，白球为偶数时，最后一定取出黑球

总结公式

（0 xor 0 ……xor 0）（奇数） xor （1 xor 1 ……xor 1）（不管奇偶数） = 0 xor 1 = 0

（0 xor 0 ……xor 0）（偶数） xor （1 xor 1 ……xor 1）（不管奇偶数） = 1 xor 1 = 1