66、图嵌入与平面性：最小化边交叉绘制图

图嵌入与平面性：最小化边交叉绘制图

在图的绘制中，边交叉是一个常见的问题，特别是在处理复杂图时，减少边交叉可以提高图的可读性和可视化效果。本文将深入探讨不同类型图绘制中边交叉的问题，包括直线段、折线和贝塞尔曲线，并提供相应的算法和代码实现。

1. 直线绘制与曲线绘制的比较

在图的绘制中，直线绘制和曲线绘制是两种常见的方式。虽然对于许多图来说，直线交叉数（rectilinear crossing number）可能大于交叉数（crossing number），但这并不意味着我们要摒弃直线绘制。以下是几个支持直线绘制的理由：
- 适用范围广 ：对于所有平面图和交叉数小于 4 的图，使用直线绘制不会有任何损失。而且，并非所有交叉数 cr(G) ≥ 4 的图，其直线交叉数 rcr(G) 都比 cr(G) 差。在实际应用中，我们通常更关注绘制平面图或接近平面图，因为流程图、PERT 图、工作流图等通常是稀疏图，交叉数不太可能很高。根据欧拉不变量，平面图必须是稀疏的（边的数量与顶点的数量呈线性关系）。
- 算法实现难度低 ：虽然曲线嵌入可能导致更少的交叉点，但找到这样的嵌入并不容易。使用算法寻找曲线绘制需要优化更多的参数，除了顶点的位置，还需要找到理想的曲线来减少交叉数。如果使用贝塞尔二次或三次曲线，每条边至少会增加一两个参数，使得搜索空间更大、更难搜索。参数数量从 O(V) 增加到 O(V + E)，在最坏情况下为 O(V²)。
- 计算成本低 ：使用曲线需要更大的计算能力。检查两条线段是否相交的算法明显比检查两条曲线是否相交更容易（通过对顶点位置的一些限制，检查线段