蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——BZOJ2716天使玩偶（离线分治+树状数组）

题目：BZOJ2716.
题目大意：维护一个平面初始有$n$个点，支持$m$次操作：
1.格式$1xy$，表示加入一个点$(x,y)$.
2.格式$2xy$，表示查询距离坐标$(x,y)$最近的点到坐标$(x,y)$的距离.
注：这里的距离是曼哈顿距离，即$(x_1,y_1)$到$(x_2,y_2)$的距离为$|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$.
$1\le n,m\le 3\ast 10^3,0\le x_i,y_i\le 10^6$.

对于每个询问，我们要回答的是：
min ⁡ { ∣ x − x i ∣ + ∣ y − y i ∣ } \min\{|x-x_i|+|y-y_i|\} min{∣x−xi​∣+∣y−yi​∣}

发现有一个绝对值维护起来非常麻烦，所以先所有满足$x_i<x$求$y_i<y$的.原式变成：
min ⁡ { ( x + y ) − ( x i + y i ) } \min\{(x+y)-(x_i+y_i)\} min{(x+y)−(xi​+yi​)}

我们发现$x+y$对于每个询问来说是个定值，所以现在就是要使$x_i+y_i$最小.

先考虑只有询问操作.那么直接把初始的几个点看成修改操作并放在询问前离线下来，按照$x$排序.

之后我们对$y$维护一个树状数组，并按排序后的顺序扫描每一个操作.对于一个修改$(x,y)$直接在树状数组的第$y$个位置加入一个数$(x+y)$；对于一个询问直接查询$[0,y]$上的最大值即可.

考虑有修改操作怎么办.其实我们会发现如果本来就有修改操作只是所有修改都在查询前，加入修改操作只是修改不一定在查询前了，所以考虑对时间进行离线分治.

设每一次分治时间区间$[L,R]$的中点为$mid$.先只考虑时间在$[L,mid]$的修改操作对时间在$[mid+1,R]$的询问操作的影响，也就是说把上面只有询问操作的算法搬下来就可以了.

操作完之后我们还需要分治下去，分别处理$[L,mid]$和$[mid+1,R]$这两个区间.最后到$L=R$的时候会发现什么都不用干，直接退出即可.

容易发现这个分治算法复杂度为 O ( ( n + m ) log ⁡ ( n + m ) log ⁡ max ⁡ { y i } ) O((n+m)\log (n+m)\log \max\{y_i\}) O((n+m)log(n+m)logmax{yi​}).

然后考虑如何处理其它三种其它情况，发现其它三种情况可以$x$轴对称，$y$轴对称和原点中心对称转化为第一种情况，直接搞即可，复杂度不变.

当然为了保证树状数组不会操作到位置$0$，我们可以给所有坐标加$1$.

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;
 
#define Abigail inline void
typedef long long LL;
 
const int N=1000000,INF=(1<<30)-1;
 
int n,m,mx,c[N+9];
 
void Add(int p,int v){if (!p) return;for (;p<=mx;p+=p&-p) c[p]=max(c[p],v);}
int Query(int p){int res=0;for (;p;p-=p&-p) res=max(res,c[p]);return res;}
void Clear(int p){if (!p) return;for (;p<=mx;p+=p&-p) c[p]=0;}
 
struct question{
  int opt,x,y,id;
  question(int Opt=0,int X=0,int Y=0,int Id=0){opt=Opt;x=X;y=Y;id=Id;}
}q[N*2+9],t[N*2+9];
int cq,ans[N*2+9];
 
bool cmp(const question &a,const question &b){return a.x<b.x||a.x==b.x&&a.id<b.id;}
 
void Divide(question *q,int L,int R){
  if (L>=R) return;
  int mid=L+R>>1,lt=L-1,rt=mid;
  for (int i=L;i<=R;++i)
    q[i].id<=mid?t[++lt]=q[i]:t[++rt]=q[i];
  for (int i=L;i<=R;++i) q[i]=t[i];
  int j=L,tmp;
  for (int i=mid+1;i<=R;++i){
    if (q[i].opt) continue;
    for (;j<=mid&&q[j].x<=q[i].x;++j)
      if (q[j].opt) Add(q[j].y,q[j].x+q[j].y);
    tmp=Query(q[i].y);
    if (tmp) ans[q[i].id]=min(ans[q[i].id],q[i].x+q[i].y-tmp);
  }
  for (int i=L;i<j;++i)
    if (q[i].opt) Clear(q[i].y);
  Divide(q,L,mid);
  Divide(q,mid+1,R);
}
 
void Solve(question *q,int n){
  sort(q+1,q+1+n,cmp);
  Divide(q,1,n);
}
 
Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  int opt,x,y;
  for (int i=1;i<=n;++i){
    scanf("%d%d",&x,&y);++x;++y;
    ++cq;q[cq]=question(1,x,y,cq);
    mx=max(mx,max(x,y));
  }
  for (int i=1;i<=m;++i){
    scanf("%d%d%d",&opt,&x,&y);++x;++y;
    ++cq;q[cq]=question(opt&1,x,y,cq);
    mx=max(mx,max(x,y));
  }
}
 
Abigail work(){
  for (int i=1;i<=cq;++i) ans[i]=INF;
  ++mx;
  Solve(q,cq);
  for (int i=1;i<=cq;++i) q[i].x=mx-q[i].x;
  Solve(q,cq);
  for (int i=1;i<=cq;++i) q[i].y=mx-q[i].y;
  Solve(q,cq);
  for (int i=1;i<=cq;++i) q[i].x=mx-q[i].x;
  Solve(q,cq);
}
 
Abigail outo(){
  for (int i=1;i<=cq;++i)
    if (ans[i]^INF) printf("%d\n",ans[i]);
}
 
int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}