蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——POJ2947 Widget Factory（带模高斯消元）

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原创最新推荐文章于 2026-03-06 08:01:15 发布 243 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

高斯消元快速入门 高斯消元快速入门一、基本描述学习一个算法/技能，首先要知道它是干什么的，那么高斯消元是干啥的呢？ 高斯消元主要用来求解线性方程组，也可以求解矩阵的秩，矩阵的逆。在ACM中是一个有力的数学武器. 它的时间复杂度是n^3，主要与方程组的个数，未知数的个数有关。那么什么是线性方程组呢? 简而言之就是有多个未知数，并且每个未知数的次数均为一次，这样多个未知数组成的方程组为线性... 阅读详情

题目：POJ2947.
题目大意：有 $n$ 种部件，每种部件生产一个的时间为 $3$ ~ $9$ 天.现在给定 $m$ 条记录，每个记录为某种 $k_i$ 个部件的生产时间为星期几 $s_i$ 到星期几 $t_i$ ，以及这 $k_i$ 个部件的类型，问每种部件单个生产所需的时间.若无解输出"Inconsistent data."，有多组解输出"Multiple solutions.".
$1\leq n,m\leq 300,1\leq \sum k_i\leq 10^4$ .

我们考虑设每个部件单个生产所需的时间为 $x_i$ ，第 $i$ 条记录中第 $j$ 种部件的数量为 $a_{i,j}$ ，那么可以列出一下方程组：
$\left\{\begin{matrix} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots+a_{1,n}x_n=t_1-s_1\,\,(mod\,\,7)\\ a_{2,1}x_2+a_{2,2}x_2+\cdots+a_{2,n}x_n=t_2-s_2\,\,(mod\,\,7)\\ \vdots\\ a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+\cdots+a_{m,n}x_n=t_m-s_m\,\,(mod\,\,7) \end{matrix}\right.$

这是一个典型的带模高斯消元，只是最后得到的解需要通过 $\pm7$ 控制在 $3$ ~ $9$ 范围内.

考虑高消时我们只需要把它消成一个三角矩阵，所以每当我们要处理第 $i$ 行第 $j$ 列的元素时，只需要把第 $j$ 列整一列的元素中，除了第 $i$ 行的全部消为 $0$ .

这个时候若要消掉第 $k$ 行，我们只需要让第 $k$ 行同乘以 $a [i] [j]$ 且让第 $i$ 行同乘以 $a [k] [j]$ 来消元即可.

最后求解的时候由于系数不为 $1$ ，我们可以直接用费马小定理求解逆元.

解的情况判定与普通高斯消元类似.整个算法的时间复杂度为 $O(n^2m)$ .

注意，这种算法只能用于模数为质数的情况下.当模数为非质数时，这种算法会在同乘以一个数的地方出错.

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int mod=7,N=300;

int n,m,flag,ans[N+9];
struct matrix{
  int n,m,v[N+9][N+9];
}a;

int ri(){
  int x=0;
  char c=getchar();
  for (;c<'0'||c>'9';c=getchar());
  for (;c<='9'&&c>='0';c=getchar()) x=x*10+c-'0';
  return x;
}

int rc(){
  char c1=getchar(),c2;
  while (c1<'A'||c1>'Z') c1=getchar();
  c2=getchar();getchar();
  if (c1=='T') return c2=='U'?2:4;
  if (c1=='S') return c2=='A'?6:7;
  if (c1=='M') return 1;
  return c1=='F'?5:3;
}

int print(int x){
  x%=mod;
  if (x<3) x+=mod;
  printf("%d ",x);
}

int power(int a,int k){
  int s=1;
  for (;k;k>>=1,a=a*a%mod)
    if (k&1) s=s*a%mod;
  return s;
}

int Gauss(matrix a){
  int n=a.n,m=a.m,now=1,r,x,y;
  for (int i=1;i<=n;++i){
  	for (r=now;r<=m;++r)
  	  if (a.v[r][i]) break;
  	if (r>m) continue;
  	if (r^now) swap(a.v[r],a.v[now]);
	x=a.v[now][i];
  	for (int j=1;j<=m;++j)
  	  if (now^j){
  	  	y=a.v[j][i];
  	  	for (int k=1;k<=n+1;++k)
  	  	  a.v[j][k]=((a.v[j][k]*x-a.v[now][k]*y)%mod+mod)%mod;
	  }
	++now;
  }
  for (int i=1;i<=n;++i)
    ans[i]=a.v[i][n+1]*power(a.v[i][i],mod-2)%mod;
  for (int i=now;i<=m;++i)
    if (a.v[i][n+1]) return 0;
  return now<=n?2:1;
}

Abigail into(){
  a=matrix();
  a.n=n;a.m=m;
  int k,x,y;
  for (int i=1;i<=m;++i){
  	k=ri();x=rc();y=rc()-x+1;
  	a.v[i][n+1]=(y%mod+mod)%mod;
  	for (int j=1;j<=k;++j)
  	  ++a.v[i][ri()];
  	for (int j=1;j<=n;++j)
  	  a.v[i][j]%=mod;
  }
}

Abigail work(){
  flag=Gauss(a);
}

Abigail outo(){
  if (flag==0) puts("Inconsistent data.");
  else if (flag==2) puts("Multiple solutions.");
    else{
      for (int i=1;i<=n;++i)
        print(ans[i]);
      puts("");
	}
}

int main(){
  while (2333){
  	n=ri();m=ri();
  	if (n+m==0) return 0;
    into();
    work();
    outo();
  }
}