【HNOI2005】BZOJ1202 狡猾的商人题解（差分约束）

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本文介绍了一种通过已知时间段内收入总额验证账本真实性的算法。利用前缀和与图论中的最短路径概念，通过建立节点与边并检查是否存在负环来判断账本是否可能被篡改。

题目：BZOJ1202.
题目大意：账本上记录了 $n$ 个月以来的收入情况，其中第 $i$ 个月的收入额为 $a_i$ . 现在知道 $m$ 段时间 $l_i,r_i]$ 内的总收入 $v_i$ ，你的任务是根据记住的这些信息来判断账本是不是假的.
数据组数 $T < 100$ ， $1\leq n< 100,1\leq m< 10^3$ .

首先设 $s_i$ 为 $a_i$ 的前缀和，限制条件变为 $s_{r_i}-s_{l_i-1}=v_i$ .

把这个限制大力拆成两个不等式：
$\left\{\begin{matrix} s_{l_i-1}+v_i\geq s_{r_i}\\ s_{r_i}-v_i\geq s_{l_i-1} \end{matrix}\right.$

考虑给每一个 $s_i$ 建一个点 $i$ ，然后对于一个不等式 $s_i+v\geq s_j$ ，我们建一条边 $(i, j)$ 边权为 $v$ ，跑一遍最短路找负环，如果有负环说明账本是假的.

时间复杂度 $O (T n m)$ .

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=100,M=1000,INF=(1<<30)-1;

int n,m,st;
struct side{
  int y,next,v;
}e[M*2+9];
int lin[N+9],cs;

void Ins(int x,int y,int v){e[++cs].y=y;e[cs].v=v;e[cs].next=lin[x];lin[x]=cs;}

int dis[N+9],vis[N+9],len[N+9],cnt[N+9];
queue<int>q;

bool SPFA(){
  for (;!q.empty();q.pop());
  for (int i=1;i<=n;++i){
  	dis[i]=INF;
  	vis[i]=len[i]=cnt[i]=1;
  	q.push(i);
  }
  for (;!q.empty();){
  	int t=q.front();q.pop();
  	vis[t]=0;
  	for (int i=lin[t];i;i=e[i].next)
  	  if (dis[t]+e[i].v<dis[e[i].y]){
  	    dis[e[i].y]=dis[t]+e[i].v;
  	    len[e[i].y]=len[t]+1;
  	    ++cnt[e[i].y];
  	    if (len[e[i].y]>n||cnt[e[i].y]>n) return 0;
  	    if (!vis[e[i].y]){
  	      vis[e[i].y]=1;
  	      q.push(e[i].y);
  	    }
  	  }
  }
  return 1;
}

Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&m);++n;
  for (int i=1;i<=n;++i) lin[i]=0;
  cs=0;
  for (int i=1;i<=m;++i){
  	int x,y,v;
  	scanf("%d%d%d",&x,&y,&v);
  	Ins(x,y+1,v);Ins(y+1,x,-v);
  }
}

Abigail outo(){
  puts(SPFA()?"true":"false");
}

int main(){
  int T;
  scanf("%d",&T);
  while (T--){
    into();
    outo();
  }
  return 0;
}