蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——POJ3090 Visible Lattice Points（欧拉函数）

最新推荐文章于 2020-04-03 14:47:45 发布

hezlik

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hzk_cpp/article/details/86777470

本文深入解析了POJ3090题目，即在一个平面直角坐标系中，计算从原点到点(n,n)的路径上可见的钉子数量。文章详细阐述了解题思路，通过数学分析得出解决方案，并提供了使用线性筛法求解欧拉函数的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目：POJ3090.
题目大意：给定一个平面直角坐标系，每一个整点位置都插着一个钉子，问从点 $(0, 0)$ 到点 $(n, n)$ 的矩阵中，从 $(0, 0)$ 开始可以看到多少个钉子（不包括 $(0, 0)$ 上的钉子）.
原题图：
在这里插入图片描述
$1\leq n\leq 10^3$ ，数据组数 $\leq 10^3$ .

拿到题的时候感觉不是很可做，其实仔细分析一下后，会发现坐标为 $(0, x)$ 和 $(x, 0)$ 的点中，只有 $(0, 1)$ 和 $(1, 0)$ 满足条件； $(1, 1)$ 到 $(n, n)$ 中只有 $g c d (x, y) = 1$ 的点才满足条件.所以答案为：
$2+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=1]\\ =3+2\sum_{i=2}^{n}\sum_{j=1}^{i}[gcd(i,j)=1]\\ =3+2\sum_{i=2}^{n}\phi(i)$

然后问题就变成了快速求 $\phi$ 函数的和，线性筛之后在前缀和一下 $\phi$ 函数即可，时间复杂度 $O (n + C)$ .

代码如下：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=1000;

int b[N+9],pr[N+9],tp;
LL phi[N+9];

void sieve(int n){
  for (int i=2;i<=n;++i) b[i]=1;
  phi[1]=1;
  for (int i=2;i<=n;++i){
  	if (b[i]) pr[++tp]=i,phi[i]=i-1;
  	for (int j=1;j<=tp&&i*pr[j]<=n;++j){
  	  b[i*pr[j]]=0;
  	  if (i%pr[j]==0){
  	  	phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];
		break;
  	  }
  	  phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
  	}
  }
}

int n;

Abigail start(){
  sieve(N);
  phi[1]=0;
  for (int i=2;i<=N;++i)
    phi[i]+=phi[i-1];
}

Abigail into(){
  scanf("%d",&n);
}

Abigail outo(int cas){
  printf("%d %d %lld\n",cas,n,2*phi[n]+3);
}

int main(){
  start();
  int t;
  scanf("%d",&t);
  for (int i=1;i<=t;++i){
    into();
    outo(i);
  }
  return 0;
}