【HAOI2016】BZOJ4565 字符合并题解（区间DP+状压DP）

最新推荐文章于 2020-04-03 19:16:01 发布

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本文解析了BZOJ4565题目的解题思路，通过动态规划方法，针对长度为n的01串，每次合并相邻m个字符，求得最大价值。介绍了状态定义、转移方程及优化技巧，最终给出AC代码。

题目：BZOJ4565.
题目大意：给定一个长度为 $n$ 的01串 $a_i$ ，每次可以合并相邻 $m$ 个字符，并给出每种情况合并后得到的字符 $c_i$ 与价值 $v_i$ ，求最大价值.
$1\leq n\leq 300,1\leq m\leq 8,0\leq a_i,c_i\leq 1,1\leq v_i<2^{31}$ .

设 $f [l] [r] [S]$ 表示将区间 $[l, r]$ 合并成串 $S$ 后的最大价值，由于将一个长度确定的串合并后长度仍然确定，所以 $S$ 可以用二进制状压而不是三进制.

转移时考虑枚举一个左端点 $l$ 和中点 $m i d$ ，并且钦定 $[m i d + 1, r]$ 合并后变成一个字符，这样转移可以减小常数.

时间复杂度 $O(2^mn^3)$ ，由于常数较小可以过.

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=300,M=8;
const LL INF=(1LL<<60)-1;

char s[N+9];
int n,m,a[N+9];

void Get_a(){
  for (int i=1;i<=n;++i) a[i]=s[i]-'0';
} 

int siz[N+9];

void Get_siz(){
  for (int i=1;i<=n;++i){
  	siz[i]=siz[i-1]+1;
  	if (siz[i]==m) siz[i]=1;
  }
}

int c[(1<<M)+9],v[(1<<M)+9];
LL dp[N+9][N+9][(1<<M)+9];

void Get_dp(){
  for (int l=1;l<=n;++l)
    for (int r=l;r<=n;++r)
      for (int g=0;g<1<<m-1;++g) dp[l][r][g]=-INF;
  for (int i=1;i<=n;++i) dp[i][i][a[i]]=0;
  for (int l=n;l>=1;--l)
    for (int len=1;l+len-1<=n;++len){
      int mid=l+len-1,t=siz[len];
      for (int g=0;g<1<<t;++g){
        for (int r=mid+1;r<=n;r+=m-1){
          LL *now=dp[l][r]; 
		  if (t==m-1){
            now[c[g<<1]]=max(now[c[g<<1]],dp[l][mid][g]+dp[mid+1][r][0]+v[g<<1]);
            now[c[g<<1|1]]=max(now[c[g<<1|1]],dp[l][mid][g]+dp[mid+1][r][1]+v[g<<1|1]);
		  }else{
		  	now[g<<1]=max(now[g<<1],dp[l][mid][g]+dp[mid+1][r][0]);
		  	now[g<<1|1]=max(now[g<<1|1],dp[l][mid][g]+dp[mid+1][r][1]);
          }
        }
	  }
    }
}

LL ans;

void Get_ans(){
  for (int g=0;g<1<<siz[n];++g) ans=max(ans,dp[1][n][g]);
}

Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&m);
  scanf("%s",s+1);
  for (int g=0;g<1<<m;++g)
    scanf("%d%d",&c[g],&v[g]);
}

Abigail work(){
  Get_a();
  Get_siz();
  Get_dp();
  Get_ans();
}

Abigail outo(){
  printf("%lld\n",ans);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}