【2018.12.28模拟赛】再一次张开翅膀【多项式】【生成函数】【线性递推】（无实现）

本文探讨了一个组合数学问题，即在指定范围内选取特定数量的互不相同整数，使其能构成一个凸多边形的边长。通过补集转化、生成函数和多项式取模等技巧，提出了高效求解方案数的方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Descritption

给出 $n, m$ ，求在 $[1 . . n]$ 中选出m个互不相同的数，它们能作为一个凸多边形的边长的方案数。

$n≤109,3≤m≤200n\leq 10^9,3\leq m\leq 200$

Solution

我们发现，若干个数能构成凸多边形的条件就是最大值小于其他数之和。

考虑补集转化，计算和不超过最大值的方案数，再用总数 $(nm)n\choose m$ 减去

枚举总和sum，那么最大值就由n-sum+1中选法
记 $[1 . . . s u m]$ 中选m-1个互不相同的数和为sum的方案数（区间右端点取到sum也没有关系，因为m-1>2，所以是不可能等于sum的）

既然要互不相同，我们考虑将这些数从小到大考虑，将它们差分，设原本选的数为 $a_1...a_{m-1}$ ，差分序列 $c_i=a_i-a_{i-1}$ ，特别的 $c_1=a_1$ 。

问题就转化成要求每个c大于0， $∑i=1m−1ci∗(m−i)=sum\sum\limits_{i=1}^{m-1}c_i*(m-i)=sum$

把 $c$ 反一下下标，就是 $∑i=1m−1ci∗i=sum\sum\limits_{i=1}^{m-1}c_i*i=sum$
考虑生成函数， $c_i$ 的生成函数就是 $1−11−xi=xi1−xi1-{1\over 1-x^i}={x^i\over 1-x^i}$
所有变量的生成函数就是 $∏i=1m−1xi1−xi=xm(m−1)2∏i=1m−1(1−xi)\prod\limits_{i=1}^{m-1}{x^i\over 1-x^i}={x^{m(m-1)\over 2}\over \prod\limits_{i=1}^{m-1}(1-x^i)}$

这个多项式的次数为 $i$ 的项系数乘上 $n - i + 1$ 就是不超过i的答案
那就是上面的多项式卷上 $∑(i+1)xi\sum(i+1)x^i$ 了

这显然就是 $11−x1\over {1-x}$ 的导数，就是 $1(1−x)21\over (1-x)^2$

那么我们现在的问题就是求 $xm(m−1)2(1−x)2∏i=1m−1(1−xi){x^{m(m-1)\over 2}\over (1-x)^2\prod\limits_{i=1}^{m-1}(1-x^i)}$ 的第n项

我们发现下面的式子常数项为1
什么式子分母常数项为1且能快速求第n项呢？

常系数齐次线性递推！
$F (x)$ 为答案的生成函数, $F (x) = F (x) G (x) + T (x)$ ，那么 $F(x)=T(x)1−G(x)F(x)={T(x)\over 1-G(x)}$
参考https://blog.youkuaiyun.com/hzj1054689699/article/details/85683342
此时 $G (x)$ 的次数是 $m^2$ 级别的，因此需要采用多项式取模和多项式求逆优化。