[JZOJ5422]【NOIP2017提高A组集训10.25】天才绅士少女助手克里斯蒂娜

Description

给定N个向量$v$
需要支持两种操作，修改某一个向量
或者对于一个区间$[l,r]$，求$\sum\limits_{l\leq i<j\leq r}|v_i\times v_j|^2$
$\times$代表向量叉积

Solution

因为$(x_i,y_i)\times(x_j,y_j)=x_iy_j-x_jy_i$

平方式子拆出来

$$=x_i^2y_j^2-2x_iy_ix_jy_j+x_j^2y_i^2$$

对于每个次询问维护$x^2,y^2,xy$的前缀和即可
这样是$O(N^2)$的

考虑优化
$i<j$太麻烦，不妨去掉这个限制，最后再除以2

那就非常方便处理了
设$S_x=\sum x^2,S_y=\sum y^2,Sc=\sum xy$

那么区间的答案容易得出就是$2S_xS_y-2Sc^2\over 2$
也就是$S_xS_y-Sc^2$

树状数组维护一下即可

Code

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define N 1000005
#define LL long long
#define mo 20170927
using namespace std;
LL c[3][N],a[N],b[N];
int n,m;
int lowbit(int k)
{
    return k&(-k);
}
void put(int k,LL v,int q)
{
    while(k<=n) (c[q][k]+=v)%=mo,k+=lowbit(k);
}
LL get(int k,int q)
{
    LL s=0;
    while(k) (s+=c[q][k])%=mo,k-=lowbit(k);
    return s;
}
int main()
{
    freopen("kurisu.in","r",stdin);
    freopen("kurisu.out","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    fo(i,1,n) scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]),put(i,a[i]*a[i]%mo,0),put(i,b[i]*b[i]%mo,1),put(i,a[i]*b[i]%mo,2);
    LL ny=10085464;
    fo(i,1,m)
    {
        int p,v;
        LL l,r;
        scanf("%d",&v);
        if(v==1)
        {
            scanf("%d%lld%lld",&p,&l,&r);
            put(p,(l*l%mo-a[p]*a[p])%mo,0),put(p,(r*r%mo-b[p]*b[p]%mo)%mo,1),put(p,(l*r%mo-a[p]*b[p]%mo)%mo,2);
            a[p]=l,b[p]=r;
        }
        else
        {
            scanf("%lld%lld",&l,&r);
            LL s1=(get(r,0)-get(l-1,0)+mo)%mo,s2=(get(r,1)-get(l-1,1)+mo)%mo,sc=(get(r,2)-get(l-1,2)+mo)%mo;
            printf("%lld\n",(s1*s2%mo-sc*sc%mo+(LL)5*mo)%mo);
        }
    }
}