背包问题的空间优化

01背包

题目描述

有 $n$ 个重量和价值分别为 $w_i$，$v_i$ 的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过 $W$ 的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。
数据范围：
$1\le n\le 100$
$1\le w_i,v_i\le 100$
$1\le W\le 10000$

---

优化前

• 递推式：

d p [ 0 ] [ j ] = 0 d p [ i + 1 ] [ j ] = { d p [ i ] [ j ] , j < w i m a x { d p [ i ] [ j ] , d p [ i ] [ j − w i ] + v i } , j ≥ w i \begin{split} dp[0][j]&=0 \\ dp[i + 1][j]&=\begin{cases} dp[i][j]&,j<w_i \\ max\{dp[i][j],dp[i][j-w_i]+v_i\}&,j\ge w_i \end{cases} \end{split} dp[0][j]dp[i+1][j]​=0={ dp[i][j]max{ dp[i][j],dp[i][j−wi​]+vi​}​,j<wi​,j≥wi​​​

• 代码：

// 输入
int n, W;                    // n -- 物品个数；W -- 最大重量
int w[WMAX], v[VMAX];        // w[WMAX] -- 物品重量；v[VMAX] -- 物品价值
int dp[MAX][MAX]             // dp数组，与记忆化数组一样，必须足够大

void solve(void)
{
   
   
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
   
   
		for (int j = 0; j <= W; j++)
		{
   
   
			if (j < w[i])
				dp[i + 1][j] = dp[i][j];
			else
				dp[i + 1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - w[i]] + v[i]);
		}
	}

	printf("%d\n", dp[n][W]);
}

优化一：二维数组

由 $dp[i+1][j]$