【深入理解计算机系统】IEEE浮点表示

一、基本表示

  在IEEE标准中，一个浮点数表示如下：
$$V=(-1{)}^s\times M\times 2^E$$
其中：

• s表示符号（sign），s=1表示负数，s=0表示正数；
• M表示尾数（significand）；
• E表示阶码（exponent）。

  在单精度浮点格式中，符号位、阶码和尾数的位数分别为1、8、23；在双精度浮点数中，符号位、阶码和尾数的位数分别为1、11、52。

二、三种情况

1.规格化值

  当阶码的编码不全为0且不全为1时，该浮点数为规格化的值。阶码的值表示如下：$$E=e-Bias$$其中，e是E的二进制编码，而Bias是一个值为$2^{k-1}-1$的偏置。
  尾数定义为：$$M=1+f$$其中$f$是尾数的二进制编码，是一个大于0小于1的小数，由于尾数隐含了一个1，所以$M$的实际范围是$1\le M<2$。

2.非规格化值

  当阶码的编码全为0时，该浮点苏为非规格化值。此时阶码值为:$$E=1-Bias$$
尾数值为$$M=f$$此时由于尾数小于1，故不包含隐含的1。

3.特殊值

  当阶码的编码全为1时，该浮点数为特殊值，特殊值有三种：

• s=0，尾数编码全为0，浮点数表示正无穷；
• s=1，尾数编码全为0，浮点数表示负无穷；
• 尾数编码不全为0，浮点数表示NaN（Not a Number）。

三、几个特殊值

  下表以单精度浮点数为例，列出了几个特殊值的表示方式。

描述	阶码	尾数	值
0	00…00	0…00	0
最小非规格化数	00…00	00…01	$2^{-23}\times 2^{-126}$
最大非规格化数	00…00	11…11	$(1-2^{-24})\times 2^{-126}$
最小规格化数	00…01	00…00	$2^{-126}$
1	01…11	00…00	1
最大规格化数	11…10	11…11	$(2-2^{-24})\times 2^{127}$