DAY_11（强连通分量）

最新推荐文章于 2024-05-04 17:47:53 发布

原创

最新推荐文章于 2024-05-04 17:47:53 发布 · 697 阅读

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#图论 #算法

本文介绍了强连通分量的概念，探讨了如何使用暴力方法和Kosaraju、Tarjan算法高效求解有向图中的强连通分量。Kosaraju通过反向图和两次dfs确定scc数量，而Tarjan则在一次dfs中划分。文章提供了具体的C++代码示例，展示了这两种算法在不同场景的应用。

求解强连通分量有两种算法，tarjan和kosaraju

首先来俩概念：

强连通：在有向图G中，若两个点u、v是互相可达的，则称u和v是连通的。如果G中任意两个点都是互相可达的，称G是强连通图。

强连通分量：如果一个有向图G不是强连通图，那么可以把它分成多个子图，其中每个子图的内部是强连通的，而且这些子图已经扩展到最大，不能与子图外的任意点强连通，称这样一个“极大强连通”子图是G的一个强连通分量（Strongly Connected Component）

有个常见的问题：求G中有多少个scc？

我们先来尝试着把每个scc抽象成一个个的群岛，群岛由有着很多或很少的小岛组成，群岛内部连通；群岛与其他群岛之间有单向道路连接，且不会形成环路。然后将每一个群岛虚拟成一个个点，最后得到一个有向无环图GG，GG中点的数量即为scc数量（还能推出：每个群岛挖掉后，并不会影响其他岛内部的连通性）

那么一开始想到的一定是暴力！！！（暴力不可取。。。）

暴力思路：对每个点求连通性，然后进行比较，互相连通的点就组成了scc（dfs或bfs可实现）

。。。时间复杂度： $O(n^2+m)$

下面介绍Kosaraju和Tarjan算法（时间复杂度： $O(n+m)$ ）

Kosaraju

原理：

1、将有向图G的所有边反向构建反图rG，rG不会改变原图G的强连通性。（人话：G的scc数量和rG的数量相同）

2、对G和rG各做一次dfs，可以确定scc数量

有一个我之前特别困惑的点：dfs干啥用的？

——对虚拟点进行拓扑排序，排序后将优先级最高的虚拟点进行反dfs，就可以求出被群岛与外界隔离的那些小岛了

模版在下面 $\forall \forall \forall \forall$

Tarjan

Kosaraju是在图中一个一个将scc给挖出来，而Tarjan能在一次dfs就将所有点按照scc分开

其实理解了Kosaraju，来理解Tarjan也不是很难（个人意见）

有几个变量需要注意：

low[i]：表示能返回到的最远祖先

num[i]：表示第几次循环遍历到i（~~不太重要的样子~~）

步骤：首先dfs，赋值每个点的low，然后判断low是否与该点的num值相等，如果相等，那么这个点就是自己的祖先点。额。就没了。。（是不是挺简单的~~）

下面上题目：：

B3609 [图论与代数结构 701] 强连通分量

一道模版题，下面依次提供Kosaraju和Tarjan两种做法：

Kosaraju：：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
vector<int>g[N],scc[N];
stack<int>st;
int n,m;
int f[N];
int low[N];
int num[N];
int dfn,cnt;
void dfs(int u)
{
	dfn++;
	low[u]=num[u]=dfn;
	st.push(u);
	for(int i=0;i<g[u].size();i++)
	{
		int v=g[u][i];
		if(!num[v])
		{
			dfs(v);
			l