【leetcode1015】【模运算】

题目：

给定正整数 k ，你需要找出可以被 k 整除的、仅包含数字 1 的最 小 正整数 n 的长度。

返回 n 的长度。如果不存在这样的 n ，就返回-1。

注意： n 不符合 64 位带符号整数。

示例 1：

输入：k = 1
输出：1
解释：最小的答案是 n = 1，其长度为 1。
示例 2：

输入：k = 2
输出：-1
解释：不存在可被 2 整除的正整数 n 。
示例 3：

输入：k = 3
输出：3
解释：最小的答案是 n = 111，其长度为 3。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/smallest-integer-divisible-by-k
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解法

灵茶山艾府大佬的题解

主要是两个公式：
(a+b) mod m=((a mod m)+(b mod m)) mod m
(a⋅b) mod m=((a mod m)⋅(b mod m)) mod m
那么针对于数a（因为只含1，所以是1,11,111这样的）和数b（假定比 a 多一个1，所以b=a*10+1）
再设定 resid【a】是a除以k的余数
resid【a】 = a % k
resid【b】 = b % k
代入 b = a*10 + 1
resid【b】 = （a*10 + 1）% k
再带入上面的两个公式
resid【b】 = （a % k）*10 + 1 % k
这里有点疑问，为啥不是 （a%k ）* （10 % k） 呢
可以这么理解，a * 10就是10个a相加，所以就是10个 a % k 相加（根据第一个公式）
resid【b】 = resid【a】 * 10 + 1

所以就变成了一个循环，如果余数是 0 ，就返回当前循环的次数，初始是1
如果余数不为0，就让当前的余数 乘以 10 ，加上1 ，再对 k 求余数
再看看这个余数

如果不能整除，就一定会陷入循环，即余数在一个固定的数值组之间轮回
有两种方法来解决

1. 设定一个哈希表，一旦出现重复的就返回 -1，表明无解
2. 设定最多循环 k 遍，一旦到达就返回 -1，因为如果不出现重复的余数，这个余数又不可能大于 k，那么最多就 k-1 个可能，所以只要循环到了第 k 次，就会出现重复的数，表明无解

优化

其实只要 k 不是 2 或者 5 的倍数，就一定有解；只要k是2或者5的倍数，就无解，原因如下
对于 长度为 x 的全为 1 的数 n 来说
n = (10^x - 1)/9
因为比如 x = 3，那么对于 111 来说，10³ = 1000 = 999 + 1 = 111 * 9 + 1
再来看，如果 题目无解，那么一定会陷入循环，那么一定有两个数同余数，假定为
a = (10^x - 1)/9
b = (10^y - 1)/9
并且a>b
又因为同余数
所以 a-b 一定是 k 的倍数

a-b = (10^x - 1)/9 - (10^y - 1)/9
= (10^x - 1 - 10^y + 1)/9
= (10^x-y * 10^y - 10^y * 1)/9
= 10^y * (10^x-y- 1)/9

k在没有 2 和 5 作为因子的情况下，想要整除 a-b，就只能从 (10^x-y- 1)/9 下手，而这又是 长度为 x-y 的 111… ，所以k只要不是2或者5的倍数，就一定有解。
看到这里其实我还有疑惑，那如何证明 只要k是2或者5的倍数，就无解呢。我看了官方题解，其实很简单，因为k只要能被2或者5整除，那么我们k的所有倍数的尾数一定不为1.