离散数学实验一

实验题目：可简单图化、连通图、欧拉图和哈密顿图的判断

实验目的：

1. 掌握可简单图化的定义及判断方法；
2. 掌握连通图、欧拉图的判断方法；
3. 掌握欧拉回路的搜索方法；
4. 了解欧拉图的实际应用。

实验要求：

1. 给定一非负整数序列（例如：(4,2,2,2,2)）。
2. 判断此非负整数序列是否是可图化的，是否是可简单图化的。
3. 如果是可简单图化的，根据Havel定理过程求出对应的简单图，并输出此图。
4. 判断此简单图是否是连通的。
5. 如果是连通图，判断此图是否是欧拉图。如果是欧拉图，请输出一条欧拉回路（输出形式如：v2->v1->v5->v3->v4->v5->v2）。

相关知识回顾

可简单图化的判断

方式一：

方式二：

上面的两个定理都是充分必要条件。

欧拉回路(Euler tour/circuit)

即经过图中所有边的简单回路

思路

1. 是否可简单图化，利用顶点度数之和为偶数 和 顶点度数位于 0 到 n - 1 之间这两个条件。其中第一个条件是可图化的判定条件。我用上面的第二个充分必要条件判断是否可简单图化，利用Havel定理由度数列得到邻接矩阵。最初求邻接矩阵时遇到了一个Bug，对于 4 4 4 2 2 2这个测试用例，无法自底向上推出相邻矩阵，我觉得原因是顶点的序号在Havel定理的过程中被我打乱了。如果每次都从头开始寻找可以连接的顶点，中间会卡在 4 4 2 2 2那里无法加边，就是说会空出一个孤立顶点和两条边无法加入。所以我把从头遍历改为循环遍历，类似操作系统中首次适应算法改为循环首次适应算法。
2. 是否为欧拉图，无向图若是欧拉图，每个顶点的度数都是偶数；
3. 是否连通，从一个顶点出发，若是能够遍历所有的顶点，就是连通的；
4. 求欧拉回路，从一个顶点出发，每次加入一条没有走过的路径，不能出现环，如果无路可走时所有边都已经走过了并且回到了最初的起点，说明这是一条正确的欧拉回路。

实现代码

/*
1、给定一非负整数序列（例如：(4,2,2,2,2)）。
2、判断此非负整数序列是否是可图化的，是否是可简单图化的。
使用无向相邻矩阵表示该简单图
3、如果是可简单图化的，根据Havel定理过程求出对应的简单图，并输出此图。
4、判断此简单图是否是连通的。
5、如果是连通图，判断此图是否是欧拉图。如果是欧拉图，请输出一条欧拉回路（输出形式如：v2->v1->v5->v3->v4->v5->v2）。
*/
#include <iostream>
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
int a[11] = {
   
   0}; // 存储度数列
int n = 0; // 顶点个数
int graph[11][11]; // 用于存储简单图的邻接矩阵
int visited[11];
int used[11][11]; // 求欧拉回路时是否已经走过
stack<int> path; // 存储欧拉回路
int m = 0; // 边的数量
int curEdge = 0;

bool cmp(int t1, int t2)
{
   
   
    return t1 >= t2;
}

// 判断是否可图化和可简单图化，可图化返回1，可简单图化返回2，不可图化返回0
int isGraphic()
{
   
   
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
   
   
        if (a[i] < 0)   // 负数不可图化
        {
   
   
            return 0;
        }
        sum += a[i];
    }
    if (sum % 2 == 0)   // 可图化
    {
   
   
        if (n - 1 >= a[1] && 0 <= a[n])   // 可简单图化的第二个判断
        {
   
   
            int left = 0;
            int right = 0;
            int flag = true;
            for (int r = 1; r <= n - 1; ++r)
            {
   
   
                left += a[r];
                right = r * (r - 1);
                for (int j = r + 1; j <= n; ++j)
                {
   
   
                    right += min(r, a[j]);
                }
                if (left > right)