费用流学习

常见费用流：最小/最大费用最大流

要求：先保证最大流再保证费用最小/大

做法：贪心

每次找出单位费用最小的交错路更新即可

将dinic算法中的bfs改为spfa，每次走dis[p]=dis[x]+w的边转移（保证了走的是费用最小的交错路）

记录每个节点经过与否：有可能这个节点不能到达T，dinic时候会一直进入这个点，打上标记保证每个节点只经过一遍

bool get_dis(){
	queue<int>q;
	memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof(dis)),memset(in,false,sizeof(in));
	dis[p_beg]=0;
	q.push(p_beg),in[p_beg]=true;
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		in[x]=false;
		for(int i=0;i<tu[x].size();i++){
			int p=tu[x][i].p,vid=tu[x][i].vid,w=tu[x][i].w;
			if(!v[vid]) continue;
			if(dis[p]>dis[x]+w){
				dis[p]=dis[x]+w;
				if(!in[p]) q.push(p),in[p]=true;
			}
		}
	}
	return dis[p_end]<inf/10;
}
int dinic(int x,int flow){
	if(x==p_end) return flow;
	int res=flow;
	vis[x]=true;
	for(int i=las[x];i<tu[x].size();i++){
		las[x]=i;//当前弧优化：以前更新过的是无用状态，不必再次更新
		int p=tu[x][i].p,vid=tu[x][i].vid,w=tu[x][i].w;
		if(dis[p]!=dis[x]+w||vis[p]||!v[vid]) continue;
		int now=dinic(p,min(res,v[vid]));
		v[vid]-=now,v[vid^1]+=now;
		res-=now,min_cost+=w*now;
		if(!res) break;
	}
	return flow-res;
}

例题

1.航班安排

将每个请求拆点，一个代表开始另一个代表结束

设立一个虚拟源点，连向每个初始状态容量1费用-w[1][beg]的边，初始状态连上结尾状态容量1费用为所得报酬的边，结束节点连汇点容量1费用-w[1][beg]的边

每次完成一个认为可以接另一个，如果满足条件连另一个初始节点

最后源点连虚拟源点容量为飞机架数的边

跑最大费用最大流

代码

2.晨跑

消耗体力看为价值，每条路径容量为1（只能经过一次），直接最小费用（最少消耗的体力）最大流（最大循环）

要拆店并连上容量1的边，因为每个点只经过一次

代码

3.修车​​​​​

考虑求总花费

从顾客向师傅连边

把每个师傅划为多个状态，每个状态代表后面还有多少人等待修车

故连接这个状态的边的花费是修车花费时间*等待人数

每条边容量都是1，每个师傅状态连汇点容量1花费0的边

每个师傅使用的状态一定会是联系的，若不连续无法达到最小花费，故此方法正确

代码

4.订货

显然是餐巾问题的变形，但此时可以dp求解

将式子拆开，与k有关的可以前缀和维护

代码​​​​​​​