方向导数与梯度

方向导数与梯度

在许多问题中，不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率（即偏导数），而且还要设法求得函数在其他特定方向上的变化率。这就是接下来要谈论的方向导数。

定义 1  设三元函数在点的某邻域内有定义，为从点出发的射线，为上且含于内的任一点，以表示与两点间与的距离，若极限


存在，则称此极限为函数在点沿方向的方向导数，记作


沿任一方向的方向导数与偏导数的关系由下述定理给出。
定理  若函数在点可微，则在点处沿任一方向的方向导数都存在，且

其中为方向的方向余弦。

注：最后会介绍方向余弦的知识

例1  设，求在点沿方向的方向导数。
解  易见在点可微。故由及方向的方向余弦

可按定理中的公式求得沿方向的方向导数为

.

定义 2  若在存在所有自变量的偏导数，则称向量为函数在点的梯度，记作

.
向量 的长度（或模）为

在上述定理的条件下，若记方向上的单位向量为

.
于是方向导数公式又可以写成

这里是梯度向量与的夹角。因此当时，取得最大值。这就是说当在点可微时，在点的梯度方向是的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模。而当与梯度向量反方向时，方向导数取得最小值。


例 2  设，求在点处的梯度及它的模。
解  由于所以

补充：方向余弦


定义：在解析几何里，一个向量的三个方向余弦分别是这向量与三个坐标轴之间的角度余弦。

计算方法

设OA=(a,b,c)，则方向余弦的计算方法为

性质