二次型的概念
- 关于变量 x 1 , x 2 , . . , x n x_1,x_2,..,x_n x1,x2,..,xn的实二次齐次多项式 f ( x 1 , . . , x n ) = a 11 , x 1 2 + 2 a 12 x 1 x 2 + . . . + 2 a 1 n x 1 x n + . . . + a n n x n 2 = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j f(x_1,..,x_n)=a_{11},x_1^2+2a_{12}x_1x_2+...+2a_{1n}x_1x_n+...+a_{nn}x_n^2=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j f(x1,..,xn)=a11,x12+2a12x1x2+...+2a1nx1xn+...+annxn2=i=1∑nj=1∑naijxixj称为 n n n元实二次型，简称二次型.
- 设 A A A为实对称矩阵，其中 a i j = a j i a_{ij}=a_{ji} aij=aji，对于 x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T x=(x_1,x_2,...,x_n)^T x=(x1,x2,...,xn)T考虑 x T A x x^TAx xTAx，则 f ( x 1 , . . , x n ) = x T A x f(x_1,..,x_n)=x^TAx f(x1,..,xn)=xTAx，其中 A A A的主对角线上的元素为二次型平方项的系数， A A A称为二次型 f ( x 1 , . . , x n ) f(x_1,..,x_n) f(x1,..,xn)的矩阵， A A A的秩为二次型 f ( x 1 , . . , x n ) f(x_1,..,x_n) f(x1,..,xn)的秩。
- 二次型与实对称矩阵为一一对应的，但与普通矩阵不是一一对应的。
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