CSP认证——序列查询新解

题意解读：

有一个长度为$n$的序列$A$，序列$A$中的所有元素的取值在$[0,N-1]$中，$f(x)$代表序列$A$中小于等于$x$的最大整数的下标（注意看清题目），定义$g(x)$为$x/r$（下取整），其中$r=N/(n+1)$（下取整），求${\sum }_{i=0}^{N-1}|f(i)-g(i)|$，也就是估计值与真实值的误差和。

分析：

• 此题的$N$给到了$1e9$的范围，所以我们遍历$N$的话一定会超时，所以要考虑其他办法，此处我的做法是枚举n。

• 分析这个误差和，我们可以看到它带着绝对值，如果我们把绝对值拆开，那么我们就可以把${\sum }_{i=0}^{N-1}|f(i)-g(i)|$转化成如${\sum }_{i=0}^{N-1}f(i)-{\sum }_{i=0}^{N-1}g(i)$类似的形式，这样做的好处就在于我们可以使用$O(1)$的时间复杂度求出连加。

• 我们知道$f(x)$代表序列$A$中小于等于$x$的最大整数的下标，那么如果我们遍历序列$A$，对于$A[i]$我们可以推出，以$i$为$f$值的$x$的范围就是在$[A(i),A(i+1)-1]$之间，那么这样我们就可以很轻松的求出有关$f$的区间和，通过一行代码：

  ll f = i * (right - left + 1)
  

• 找到了求$f$区间和的简便方法之后，我们就开始讨论求$g$的区间和的方法。我们知道$g(x)$=$x/r$（下取整），下取整赋予了它一个非常重要的性质，当$x<r$时，$x/r$必然恒为零，我们顺着求下去，我们会发现$g(x)$有一个神奇的规律，举例来说，当$r=2$时，$g(x)$的就是$0,0,1,1,2,2,3,3,4,4,.....$，它每个数字重复的次数正好等于$r$，那么通过这个性质我们可以把这个问题转化为求一个等差数列，代码如下：

  ll sigma_g(int x) {
  x++;
  ll groups = x / r;
  ll delta = x % r;
  ll sum = groups * (groups - 1) / 2 * r + delta * (groups);
  return sum;
  }
  

  此函数的功能是求$g(0)+g(1)+...+g(x)$的值，根据刚刚发现的那条性质，我们把这个特殊的等差数列先分个组，看有多少元素是可以通过等差数列求和再与$r$相乘直接得出，剩下的尾数单独加上。
  根据这个函数，如果我们需要求区间$[i,j]$的$g$值的和，我们就可以通过$sigma\_g(j)-sigma\_g(i-1)$来求，与前缀和的思想相同。

• 找到了求$f$与$g$区间和的$O(1)$做法，我们这个时候就可以考虑怎么将绝对值符号拆开了。按照从小学到大的分类讨论法，讨论绝对值内部的正负性，当绝对值内部大于等于0时，绝对值可以直接拿掉；当绝对值内部小于0时，绝对值符号拿掉后还要将内部的值变为原来的相反数，可分为三种情况：

  • $f>g$由于我们枚举的是每一个$A[i]$，并且求出了以$i$为$f$值的$x$的范围是在$[A(i),A(i+1)-1]$之间，说明$f$值在这个区间上全部都相同.因此如果f值有一个大于等于$g$的最大值，则整个区间上都有$f>=g$，也就是说绝对值符号可以直接去掉。
  • 反之，去掉绝对值后将绝对值内部取相反数
  • 当然也有一半$f$大和一半$g$大的情况，根据g的区间递增性和f的区间不变性，我们只需要找到使$f=g$成立的那一个点，再分别按前面讨论的两种情况进行拆分绝对值即可，具体代码为：

    for (int i = 0; i <= n; i++) {
            //计算以a[i]为f值的x的左右边界
            ll lf, rt;
            if (i < n)
                lf = a[i], rt = a[i + 1] - 1;
            else
                lf = a[i], rt = N - 1;
            //如果f值大于g(rt),证明f-g>=0,可以直接去掉绝对值
            if (rt / r <= i) {
                ll f = i * (rt - lf + 1), g = sigma_g(rt) - sigma_g(lf - 1);
                error += f - g;
            }
            else if (lf / r > i) {
                ll f = i * (rt - lf + 1), g = sigma_g(rt) - sigma_g(lf - 1);
                error += g - f;
            }
            else {
                //找到使g(x)==f(x)成立的x，此x一定存在因为g(x)是连续递增的
                ll j = lf;
                while (j <= rt) {
                    if (j / r == i) {
                        break;
                    }
                    j++;
                }
                ll f1 = (j - lf + 1) * i, f2 = (rt - j) * i;
                ll g1 = sigma_g(j) - sigma_g(lf - 1), g2 = sigma_g(rt) - sigma_g(j);
                error += f1 - g1 + g2 - f2;
            }
        }
    

完整代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 1;
int n, r, N, a[maxn];

//求g(0)+...+g(x)的和
ll sigma_g(int x) {
    x++;
    ll groups = x / r;
    ll delta = x % r;
    ll sum = groups * (groups - 1) / 2 * r + delta * (groups);
    return sum;
}

int main()
{
    cin >> n >> N;
    r = N / (n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    ll error = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        //计算以a[i]为f值的x的左右边界
        ll lf, rt;
        if (i < n)
            lf = a[i], rt = a[i + 1] - 1;
        else
            lf = a[i], rt = N - 1;
        //如果f值大于g(rt),证明f-g>=0,可以直接去掉绝对值
        if (rt / r <= i) {
            ll f = i * (rt - lf + 1), g = sigma_g(rt) - sigma_g(lf - 1);
            error += f - g;
        }
        else if (lf / r > i) {
            ll f = i * (rt - lf + 1), g = sigma_g(rt) - sigma_g(lf - 1);
            error += g - f;
        }
        else {
            //找到使g(x)==f(x)成立的x，此x一定存在因为g(x)是连续递增的
            ll j = lf;
            while (j <= rt) {
                if (j / r == i) {
                    break;
                }
                j++;
            }
            ll f1 = (j - lf + 1) * i, f2 = (rt - j) * i;
            ll g1 = sigma_g(j) - sigma_g(lf - 1), g2 = sigma_g(rt) - sigma_g(j);
            error += f1 - g1 + g2 - f2;
        }
    }
    cout << error;
    return 0;
}