分数背包问题（贪心）

题目描述

阿里巴巴走进了装满宝藏的藏宝洞。藏宝洞里面有 $N(N\le 100)$ 堆金币，第 $i$ 堆金币的总重量和总价值分别是 $m_i,v_i(1\le m_i,v_i\le 100)$。阿里巴巴有一个承重量为 $T(T\le 1000)$ 的背包，但并不一定有办法将全部的金币都装进去。他想装走尽可能多价值的金币。所有金币都可以随意分割，分割完的金币重量价值比（也就是单位价格）不变。请问阿里巴巴最多可以拿走多少价值的金币？

输入格式

第一行两个整数 $N,T$。

接下来 $N$ 行，每行两个整数 $m_i,v_i$。

输出格式

一个实数表示答案，输出两位小数

样例 #1

样例输入 #1

4 50
10 60
20 100
30 120
15 45

样例输出 #1

240.00

题解：

分数背包问题虽然名字上确实是背包，但是其解题思路其实用的是贪心的方法，其一般的提问形式是：

有一个容量为$C$的背包，和$n$个体积为$s_i$，价值为$v_i$的物体，和01背包不同，分数背包中单个物体允许只拿一部分，也可以全部拿走，问怎样拿可以使得在不超过背包容量的情况下拿走的物品价值最大。

那么这个思路就极其简单了，我们每次都优先拿当前单位体积价值最高的物体，直到该物品被拿完，再去拿单位体积价值第二大的物品，循环迭代，直到背包装不下为止。

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <queue>
using namespace std;
int n, t, m[1001];

struct Node {
    int no;double value;
    Node(int i, double v) :no(i), value(v) {}
    bool operator<(const Node& a)const {
        return value < a.value || (value == a.value && no < a.no);
    }
};
priority_queue<Node> v;

int main()
{
    cin >> n >> t;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        double s, tmp; cin >> m[i] >> s;
        tmp = s / m[i];
        v.push({ i,tmp });
    }
    double msum = 0, vsum = 0;
    while (v.size() > 0 && msum < t) {
        Node x = v.top();
        if (msum + m[x.no] > t) {
            msum = t;
            vsum += x.value * (t - m[x.no]);
        }
        else {
            msum += m[x.no];
            vsum += x.value * m[x.no];
        }
        v.pop();
    }
    cout << fixed << setprecision(2) << vsum;
    return 0;
}