正余弦定理的证明及常用拓展

本文对标高中数学，要求读者至少对弧度制及三角函数有一定了解（包括和差角、二倍角、辅助角等），并掌握基本的均值不等式。

本文默认：

• 对角对边同字母，例如 $\angle A$ 所对的边为 $a$。
• 如无意外，皆为“在 $△ABC$ 中”。
• 遵照高中的写法，$\angle A$ 一般省略 $\angle$ 符号。

正弦定理

概念

正弦定理反应了三角形三边及其正弦值的比例，涉及到其外接圆的半径，是一个较为常用的边角互化的工具。

公式 & 证明

公式：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$。

证明：如图，圆 $O$ 是三角形 $ABC$ 的外接圆，连接 $BO$ 并延长交圆 $O$ 的另一端于 $D$，连接 $CD$。

根据圆的相关知识可以知道 $\angle BCD=90°$，$\angle A=\angle D$。

现在我们发现 $BD$ 是圆 $O$ 的直径（记为 $2R$，$R$ 即三角形外接圆半径），它等于 $\frac{BC}{\sin D}=\frac{a}{\sin A}$。

所以我们得到 $\frac{a}{\sin A}=2R$。而这只是我们的其中一条边，剩下两条边同样可以进行类似的操作，所以就得到了 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$。

应用

解三角形

正弦定理可以用于，当我们已知一组对边对角和另一边或另一角时，可以将整个三角形解出来。

例如我们知道了 $a,b,\sin A$ 的值，那么利用小小的变形可得 $\sin B=\sin A\cdot \frac{b}{a}$。

而知道了 $\sin B$，利用和差角公式和诱导公式可以算出：

$$\sin C=\sin (\pi -A-B)=\sin (\pi -(A+B))=\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$$

最后 $c=b\cdot \frac{\sin C}{\sin B}$。

只要知道的有一组对边对角和一个其它信息，我们就能把这个三角形解出来了！

顺便提一嘴，三角形的面积公式还可以表示成 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$，这个自己推吧，非常易证。

边角互化

这是啥意思呢？

其实就是，如果你遇到一个齐次的方程或者式子，你可以将其中的 $\sin$ 全部变成边，或者将所有边变成 $\sin$。

比如说，现在有个式子

$$b\sin A+a\cos B=0$$

你发现这个方程左边的每一项都只带一次的 $a,b$，你就可以把它变成 $\sin B\sin A+\sin A\cos B=0$，即等号两边同时乘上 $\frac{\sin A}{a}$（$=\frac{\sin B}{b}$）。

然后你就发现 $\sin B=-\cos B$ 啦，很容易就能知道 $B=\frac{3\pi }{4}$。

又比如

$$a\sin A+b\sin B-c\sin C=0$$

这个时候我们将等式两边同乘 $\frac{a}{\sin A}$，可以得到 $a^2+b^2-c^2=0$，所以 $C=\frac{\pi }{2}$。

处理倍角

这个很好理解。

比如你遇见一些题目，写着 $C=2B$。那这个时候利用三角函数，可以写成 $\sin C=\sin 2B=2\sin B\cos B$，然后再根据题目的一些条件来继续解决问题。

由 $\sin$ 引起的正弦定理的多解问题

我们知道，$\sin \alpha =\sin (\pi -\alpha )$。

所以，现在如果知道了 $a,b,\sin A$。你可以通过计算得到 $\sin B$ 的值。但是这个三角形的形状一定是唯一的吗？比如 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$B$ 除了可以是 $\frac{\pi }{3}$，也可能是 $\frac{2\pi }{3}$ 呀！

所以，现在我们需要讨论，当 $a,b,\sin A$ 出现什么关系的时候，三角形的形状唯不唯一。

1、$A\in [0,\frac{\pi }{2})$

看图可以很轻易地看出来解的情况，以下是表格：

关系	解的个数
$a<b\sin A$	无解
$a=b\sin A$	一解（$B=\frac{\pi }{2}$）
$a>b\sin A$	二解（分布在圆的两侧）
$a\ge b$	一解（$a=b$ 有一种情况是 $a,b$ 重合，构不成三角形，所以也是一个解）

2、$a\in [\frac{\pi }{2},\pi )$

这种情况更简单。显然 $B$ 只能是锐角。遵循大角对大边，小角对小边的原理，我们有以下结论：

关系	解的个数
$a\le b$	无解
$a>b$	一解

余弦定理

概念

余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，也可在知道角和边的情况下求未知边。

公式 & 证明

公式有两种常用写法：

1. $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$（字母可相互替换）；
2. $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。

证明：

如图，我们过 $A$ 作 $AD\perp BC$ 于 $D$。设 $BD=x,CD=a-x$。

利用勾股可以得到，$c^2-x^2=b^2-(a-x{)}^2$。

解出来 $x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$。

此时利用三角函数最基本的定义，可算得 $\cos B=\frac{x}{c}=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。

然后再变一下就能得到第二种表示方式。

这个公式非常好记，就是某个角的 $\cos$ 等于它两邻边的平方和减去对边平方，除以两倍邻边乘积的结果。

什么？你说这只证明了锐角满足余弦定理，但是钝角不一定？那不妨来看看另一种证法：

尝试使用向量证明。

如图，我们有 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}$。

两边同时平方，得到

$$a^2=b^2+c^2+2|b||c|\cos (\pi -\theta )$$

后面那个东西是向量的点乘展开。

因为 $\cos (\pi -\theta )=-\cos \theta$，所以进一步化简：

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \theta$$

而显然 $A=\theta$，所以我们就能得到

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

应用

解三角形

当我们已知一个三角形中的信息满足“SAS”的情况时（比如知道了 $a,b,\angle C$），那么可以通过余弦定理求得 $c$，并进一步利用正弦定理求出其他东西。

同时当我们知道三边长时，也可以求得三个角的 $\cos$ 值。

中线长公式（二级结论）

这个其实用斯特瓦尔德定理可以证明，不过我不想用那玩意，实在是太麻烦了。

两种证明方式，一种初中，一种高中。

初中证法：平行四边形

一步证完。

我们知道，在平行四边形中，有一个这样的结论：四边平方和 $=$ 对角线平方和。

如图，倍长中线 $AD$，会出现平行四边形 $ABEC$。

则 $2A{B}^2+2A{C}^2=B{C}^2+A{E}^2=4A{D}^2+B{C}^2$、

可得 $A{D}^2=\frac{1}{2}A{B}^2+\frac{1}{2}A{C}^2-\frac{1}{4}B{C}^2$。

高中证法

更加直观，不用辅助线和其他结论。

显然可以有 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$。

同时平方，得到 $A{D}^2=\frac{1}{4}(A{B}^2+A{C}^2+2AB\cdot AC\cos A)$。

然后将 $\cos A$ 的公式代入，得到

$$A{D}^2=\frac{1}{4}(A{B}^2+A{C}^2+2AB\cdot AC\cdot \frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2AB\cdot AC})$$

化简，得

$$A{D}^2=\frac{1}{4}(2A{B}^2+2A{C}^2-B{C}^2)$$

这比记那个斯特瓦尔德定理好多了吧……

角平分线长公式（二级结论）

高中的角平分线直接与面积挂钩，所以遇到角平分线时就往面积那边想就好啦！

如图，$BD$ 是三角形 $ABC$ 的角平分线。

$$S_{ABC}=S_{ABD}+S_{CBD}$$

同时乘 $2$，得到

$$ac\sin B=c\cdot BD\sin \frac{B}{2}+a\cdot BD\sin \frac{B}{2}$$

左边用二倍角公式展开，得到

$$2ac\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}=(a+c)BD\sin \frac{B}{2}$$

一通操作消去了 $\sin$，可以得到

$$BD=\frac{2ac\cos \frac{B}{2}}{a+c}$$

以后遇到角平分线相关问题就知道怎么解啦！

结合均值不等式

让我们来看看余弦定理最初的样子：

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

如果此时 $a$ 是定值，那么我们把式子做变形，结合均值不等式，可以处理已知一边一角时，面积的最大值和周长的最大值。

周长最大值

即我们要求 $b+c$ 最小。

先做变形，提出完全平方公式，使其出现 $b+c$：

$$a^2=(b+c{)}^2-2bc-2bc\cos A$$

合并同类项，得：

$$a^2=(b+c{)}^2-2bc(\cos A+1)$$

利用均值不等式 $bc\le \frac{(b+c{)}^2}{4}$ 代入式子，得到：

$$a^2\ge (b+c{)}^2-\frac{(a+b{)}^2}{2}(\cos A+1)$$

注意代入的地方前面是减号，所以要变号哦。

接着合并同类项，我们就得到：

$$a^2\ge \frac{1}{2}(1-\cos A)(b+c{)}^2$$

$$(b+c{)}^2\le \frac{2a^2}{1-\cos A}$$

$$b+c\le \sqrt{\frac{2}{1-\cos A}}a$$

一个看起来非常精神的式子就被我们推出来了哈哈哈哈。显然当 $A$ 和 $a$ 都已知时，答案是确定的。如果只知道 $a$，那周长最大时 $\cos A=1$，但是要注意取不到这个值哈（此时 $A=0°$）！

面积最大值

我们需要重新回到最早的式子：

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

三角形的面积公式为 $\frac{1}{2}bc\sin A$。因为 $A$ 已知，所以这次要求 $bc$ 的最大值。

这次利用的是 $b^2+c^2\ge 2bc$：

$$a^2\ge 2bc-2bc\cos A$$

$$bc\le \frac{a^2}{2-2\cos A}$$

所以面积最大值就是：

$$S=\frac{1}{2}bc\sin A\le \frac{a^2\sin A}{4-4\cos A}$$

建议记 $bc$ 的结论而不是 $S$ 的公式。

正余弦定理综合 & 常用变形

主要整理的是一些套路。

先咕一会。