考研数二第十一讲 罗尔中值和拉格朗日定理与柯西中值定理

对柯西中值定理、拉格朗日中值定理的理解及应用，关于罗尔中值定理一定要理解含义，学会分析罗尔中值定理的充分条件，构造对应符合条件的函数，这样就可以利用罗尔中值定理求得函数在定义区域里可得至少一点x，使得f’(x)=0.
拉格朗日定义和柯西中值都是可以通过罗尔定理变形推理得出，但是他们对应的条件存在一定差异，这一点一定要记清楚，不要搞混淆。

罗尔中值定理

罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。 罗尔定理描述如下： 如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间[a,b] 上连续，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f’(ξ)=0。

其中罗尔中值定理是基础,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的推广。那么它们到底在讲什么呢？这节课，我们就来学习它们中的第一个，罗尔中值定理。

不少同学会疑惑，能不能将罗尔中值定理的条件进行如下修改？

答案是不可以，因为这样的修改并不等价，比如：

上述函数 就刚好满足“在闭区间 上连续，在开区间 上可导”，其在端点 x=0和x=1 处不可导，它也是可以运用罗尔中值定理的，即

拉格朗日中值定理

根据罗尔定理，如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f’(ξ)=0。再看拉格朗日中值定理形式
为了证明，我们先变换一下

例题

柯西中值定理

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。如果，我们把研究对象扩展到两个函数，然后，将结论

再加上分母不为零的条件。那么拉格朗日中值定理，就成了我们的柯西中值定理

例题