分块是根号算法的一部分

分块

根号算法有很多。分块是其中一种。
分块是一种奇妙的思想。
简单地说，就是对一个序列分为若干块，每一块之多有B个元素。
很多传统的分块题，在大型比赛中已经不玩了，所以，这些传统题最多练一下代码能力，以及分类讨论的能力。

HOW TO PLAY

时间复杂度是一个关于B的式子，通过调整B的大小，能使时间复杂度最优。
如果有闲情，将修改的时间复杂度和查询的时间复杂度列一下，感觉会好些。
接下来，那就分享一下学到了什么。
对树状数组或线段树操作依赖性较强的，请克服一下。
对于带log的操作：能用树状数组的，就不要用线段树。
分块讲师道，这类知识最好结合实例来。不要空想。

基本操作

第一种基本操作：询问区间分整块和散块两部分。

例题1

JZOJ的一道题目。
称一个数是特殊的，当且仅当这个数只含有4和7两种数字。
给一个序列a，支持两种操作。①将[l,r]区间的a[i]+=v。②询问[l,r]有多少个特殊的数。
在整个过程中，a[i]始终<=10000.
设sum[i][j]表示第i个块中j的个数。区间加，整块的，就打标记；散块的，暴力修改。
修改操作：$O(\sqrt{n})$
询问操作：$O(\sqrt{n})$

第二种基本操作：修改的时候暴力重构块，询问的时候枚举这个区间包含的块。
结合一道例题。

例题2

BZOJ2002
有n个点，每个点有一个a[i]，表示从i可以跳到i+a[i]。问从u点跳几步能够跳出n（即>n）
n<=200000,m<=100000
对于每个点i，维护i点跳多少步跳出所在块。
以及它跳到下一块的哪个点。
修改操作：$O(\sqrt{n})$
询问操作：$O(\sqrt{n})$

稍微高级一点

无修改操作

运用第一种基本思想，我们希望整块的信息能够尽快求出。比如说用O(1)的时间求出。
O(1)可以直接查询数组里的值，也可以差分。
可以使用预处理。（在询问的时候不方便直接求整块的信息）

例题3

BZOJ4241
求一个区间的【一个数的出现次数*该数】的最大值。
设$ans[i][j]$表示第i块到第j块的答案。
$sum[i][j]$表示前i块中元素j的出现次数。
对于整块的，直接查询$ans[i][j]$；对于散块的，利用sum，$O(\sqrt{n})$更新答案。
预处理操作：$O(\sqrt{n})$
询问操作：$O(\sqrt{n})$
在碰到一道新的题目时，需要预处理什么？预处理那些能够将整块的信息尽快求出的值。

带修改操作

暴力重构块

也就是补充一下第二种基础操作。
遇到一个修改操作，比如区间修改。如果跨过整块，那么打个标记；对于散块的，那么就暴力重构该块。
有这么些该注意的地方：
每一次修改，维护所存储的信息，以至可以查询。这个过程的时间复杂度不宜过大。

例题4

JZOJ 5871(60分)
给一个序列，前缀和用s[i]表示，求使得$a[i]=s[i-1]$的最小的i，若没有，输出-1.
支持在线修改操作，共m个操作。
n,m<=50000.
分成$O(\sqrt{n})$块，令i所在的块的最左边的元素为L，$b[i]$表示$a[i]-(s[i]-s[L-1])$
每次修改，直接暴力重构块，询问的话，一块一块扫，设目前的块为i，前面的块的前缀和为$s_{i-1}$。如果找到一个位置k，使得$b[k]=s_{i-1}$，那么答案即为k。
修改操作：$O(\sqrt{n})$
询问操作：$O(\sqrt{n})$

例题5

BZOJ3787 Gty的文艺妹子序列
支持在线修改，询问逆序对。
解题思路
需要维护什么？使得修改的时侯枚举的复杂度为$O(n)$？
在线修改查询，什么数据结构可以做到一个log？
$ans[i][j]$表示从第i个块，第j个块各选出一个元素所造成的逆序对的个数。
$sum[i][j]$表示前i个块中元素j的出现次数。
ans,sum均可视为有$O(\sqrt{n})$个树状数组，维护的是前缀和。
逆序对的贡献可以分为三部分，一个是跨整块的，一个是块内的，一个是散块的。
设$num[i]$表示第i块的逆序对数。
处理跨整块的：$O(\sqrt{n}\ast log(n))$
处理散块的：$O(\sqrt{n}\ast log(n))$
处理块内的：$O(\sqrt{n})$
很多的涉及维护元素值的题目中，若用分块维护不了，那么很难用分块做。
比如查询元素的值在$[l,r]$的个数之类的。（题做多就好了）

区间修改，区间查询逆序对我并不会做。
注意：带修改操作的问题，不一定都能用分块解决。具体问题具体分析。

对值域分块

条件：n与a[i]同阶，或者值域的范围很小
这只是一种思想。
就是在维护信息的时候，专门有一维维护第i块值域的元素的信息。

例题6

求区间的k小。特别地，如果一个区间内a[i]出现的次数>m，则a[i]=n。
所有的a[i]都<=n。
主席树貌似处理不了a[i]出现的次数>m，则a[i]=n的情况。
分块。
设$ans[i][j][k]$表示第i块到第j块，值域为第k块的出现次数<=m的数的个数。
$sum[i][j]$表示前i块中，数j的出现次数。
询问：整块的，$O(\sqrt{n})$暴力就好了；散块的，拿一个数组维护一下。$O(\sqrt{n})$
所以，询问的复杂度：$O(\sqrt{n})$。

其他思想

平衡结合

其实在HOW TO PLAY一栏中已经有所提及。
设块大小为B，计算出每一种操作的时间复杂度，从而得出B的最优值。

均值法

均值法，就是让各部分的时间复杂度均衡，从而达到时间复杂度最优的算法。

例题7

一个序列$a$，每次询问$b,c$，对于所有的$i\equiv c(modk)$，求$\sum a[i]$
询问个数$m$与$n$同阶。
无修改。（有修改？）
解题思路
解决这题的暴力方法有很多。
方法①，设$f[b][c]$表示$b,c$的答案，预处理。
方法②，不预处理，固定b,c，直接暴力计算。
方法①的时间复杂度为$O(n\ast b)$
方法②的时间复杂度为$O(\frac{n}{b}\ast m_1)$，$m_1$代表用方法②计算答案的询问个数。
运用均值法，总时间复杂度为$O(nb+\frac{n\ast n}{b})$.
显然，当$b=\sqrt{n}$时，总时间复杂度最优，是$O(n\sqrt{n})$

难点

去掉log

我对log算法依赖性强。所以去掉log有一点难度。

例题8

BZOJ3744 Gty的妹子序列
在线查询区间$[l,r]$的逆序对数。
$O(n^{1.5}logn)$很好做，随便用树状数组维护一下就好了。
一句废话：树状数组支持的是单点查询，区间修改。
去掉log，那么要分很多种情况讨论。
具体的题解见我的其他博客。

难分难解（回滚莫队）

难以支持删除

不会。

难以支持插入

不会。

知识串联

分块算法里，学得是思想。
①分块篇
A：首先需要将块的大小$B$设置好，时间复杂度是一个关于$B$的式子，通过调整$B$来进行时间复杂度的优化。
B：分了块后干嘛？分析每一部分的时间复杂度。
②维护信息篇
A：维护整块的信息。暴力重构；设的数组使得，涉及的被修改的元素不多【详见例题5】；块状链表？（不会啊）
B：维护散块。一般就要利用到某些预处理的东西了，(这个预处理的信息可以支持暴力修改) 【详见例题3】。
③分类讨论篇
A：找出所有的情况，别觉得情况多就放弃。
B：整块的，散块的，块内的，跨整块与散块的，跨整块与整块的等等，将所有情况找到合理的解决方案。某种情况如果很难求出答案，那么可以照葫芦画瓢（即套用求其他情况的答案的方法，或综合一下）【详见BZOJ 3744】
④时间复杂度篇
所谓的分析每一部分的时间复杂度，其实就是将时间复杂度写出来，然后通过想到的优化或者调整块的大小，从而优化时间复杂度【详见BZOJ 4867】

后记

学的东西毕竟太少，如果找到关于分块算法这一块的题目，希望大家能够和我交流。