关于阶乘？！

我发现了一个很神的结论！！！！
如果大佬们一早就知道了，请不要diss这位菜鸡。

#1

求证：
$\Sigma_{i=0}^{\lfloor log\ m\rfloor}\lfloor\frac{m}{2^i}\rfloor=m-(\Sigma_{i=0}^{\lfloor log\ m\rfloor}[2^i\ and\ m==2^i])$
这个式子代表了什么？
等式左边，代表$m!$分解质因数后，质因数2的个数。等式右边是$m-m转化为二进制后1的个数$。
令$f(m)=\Sigma_{i=0}^{\lfloor log\ m\rfloor}\lfloor\frac{m}{2^i}\rfloor=m-(\Sigma_{i=0}^{\lfloor log\ m\rfloor}[2^i\ and\ m==2^i])$
用数学归纳法。
若m-1是偶数，m是奇数。
则m相对于m-1加了1。而二进制中1的个数相对于m-1也多了1。
所以$f(m)=f(m-1)$
若m-1是奇数，m是偶数，那么每一个m-1转化为二进制后，末尾有多少个连续的1，这个连续的1的个数$j$是确定的。
m-1+1后，j个1全变成0，但是倒数第j+1位的0变成了1。
所以m-1相对于m多了j-1个1。
而m相对于m-1加了1。所以$Ans(m)=Ans(m-1)+j$
证毕。