51Nod 1363 最小公倍数之和

题目大意

求$\Sigma_{i=1}^blcm(i,b)$
共50000组数据，每组数据$b≤10^9$。

解题思路

划开式子
原式$=b*\Sigma_{i=1}^n\ \frac{i}{gcd(i,b)}$
通常涉及$gcd$的，不妨设$u=gcd(i,b)$，令符合条件的$i$即$gcd(i,b)=u$的统计答案。
即原式$=b*\Sigma_{u=1}^b\ \frac{1}{u}\Sigma_{i=1}^b\ i[gcd(i,b)=u]$
$=b*\Sigma_{u|b}\ \frac{1}{u}\Sigma_{i=1}^\frac{b}{u}iu[gcd(i,\frac{b}{u})=1]$
$=b*\Sigma_{u|b}\Sigma_{i=1}^\frac{b}{u}i[gcd(i,\frac{b}{u})=1]$
通常涉及到$[gcd(i,b)=1]$的，想到$\Sigma_{d|b}\mu(d)=[b=1]$
所以
$=b*\Sigma_{u|b}\Sigma_{i=1}^\frac{b}{u}i\Sigma_{x|gcd(i,\frac{b}{u})}\mu(x)$
现在是一个大难点。很容易将人卡死。式子$gcd(i,\frac{b}{u})$好似是变量。
将它看成定的，再去确定$x,i$等值的范围。
若$gcd(i,\frac{b}{u})=x$,则满足条件的$i$一定是$x$的倍数。
$=b*\Sigma_{u|b}\Sigma_{x|\frac{b}{u}}\mu(x)\Sigma_{x|i,i≤\frac{b}{u}}i$
$=b*\Sigma_{u|b}\Sigma_{x|\frac{b}{u}}\mu(x)*x*S(\frac{b}{ux})$
其中$S(n)$表示$1+2+...+n$
化动为定，枚举$T=ux$。可以发现，T出现的次数等于T的因数个数。进一步研究发现。。。。
则原式$=\Sigma_{T|b}S(\frac{b}{T})\Sigma_{d|T}\mu(d)*d$
对于50000个询问的数b，每一个用$O(很小)$就可以求出所有T,T|b的对答案的贡献。
直接递归就好了。
$\Sigma_{d|T}\mu(d)*d=\Pi_{p为d的质因数}\ \ \ \ \ (1-p)$

总结

最重要的几个窍门吧

①化动为定，如果式子中某个量是变的，那么通常将它看成定的，再去确定相关的原来枚举的量的范围。
②划开$[gcd(x,y)=a]$的式子，变成$[gcd(\frac{x}{a},\frac{y}{a})=1]$，再用$\Sigma_{d|gcd(\frac{x}{a},\frac{y}{a})}\mu(d)=[gcd(\frac{x}{a},\frac{y}{a})=1]$
③如果实在没什么头绪，试推一下反演，设f，g表示什么。

代码

打得太丑了，于是就不贴出来了。