51Nod1220 约数之和

最新推荐文章于 2022-03-02 20:24:41 发布

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本文针对特定形式的数学求和问题提供了解题思路与详细解答过程。通过分析因子出现频率和利用杜教筛算法，实现了高效求解。

题目

求 $\Sigma_{i=1}^n\Sigma_{j=1}^n\sigma_1(ij)$ ，
其中， $\sigma_1(n)=\Sigma_{d|n}d,n≤10^9$

解题思路

错误的结论： $Ans=\Sigma_{i=1}^n\Sigma_{j=1}^n\Sigma_{a|i}\Sigma_{b|j}[gcd(a,b)=1]ab$ 。
正确的结论： $Ans=\Sigma_{i=1}^n\Sigma_{j=1}^n\Sigma_{a|i}\Sigma_{b|j}[gcd(a,b)=1]\frac{aj}{b}$ 。
为什么这才是对的？
打表，得出 $ij$ 的每个因子出现了一次或多次。
那么这些出现了多次的因子为什么会出现多次呢？
看下面的式子。

a 1 j b 1 = a 2 j b 2 即 a 1 b 2 = a 2 b 1

$\frac{a_1j}{b_1}=\frac{a_2j}{b_2}即a_1b_2=a_2b_1$
不妨设

a2>a1a2>a1 $a_2>a_1$ ，则

a2=k∗a1,k>1,k∈Za2=k∗a1,k>1,k∈Z $a_2=k*a_1,k>1,k∈Z$ ，推出

b2=k∗b1b2=k∗b1 $b_2=k*b_1$ 。
这相当于将

jb1jb1 $\frac{j}{b_1}$ 中的因数

kk $k$ 给了

a_{2}

$a_2$ 。
原式可以变成

a 1 j b 1 = a 1 j * k b 1 * k

$\frac{a_1j}{b_1}=\frac{a_1j*k}{b_1*k}$
即这是一个约分的过程。
则等式右边说明

k|gcd(a2,b2)k|gcd(a2,b2) $k|gcd(a_2,b_2)$ 。
证毕。
大神Drin_E说，先考虑每个

a,ba,b $a,b$ 对答案的贡献，最后才划开

[gcd(a,b)=1][gcd(a,b)=1] $[gcd(a,b)=1]$ 部分。
所以，原式变成了

Σna=1Σnb=1[gcd(a,b)=1]a∗⌊na⌋∗S(⌊nb⌋)Σa=1nΣb=1n[gcd(a,b)=1]a∗⌊na⌋∗S(⌊nb⌋) $\Sigma_{a=1}^n\Sigma_{b=1}^n[gcd(a,b)=1]a*\lfloor\frac{n}{a}\rfloor*S(\lfloor\frac{n}{b}\rfloor)$
考虑每个

aa $a$ 为答案贡献了多少。
相当于固定了一个值，看其余值的变化规律。
当一个

a

$a$ 确定的时候，

j=b,2b,...,⌊nb⌋∗bj=b,2b,...,⌊nb⌋∗b $j=b,2b,...,\lfloor\frac{n}{b}\rfloor*b$ 。所以要乘上

S(⌊nb⌋)S(⌊nb⌋) $S(\lfloor\frac{n}{b}\rfloor)$ 。
对于每一个

aa $a$ ，在原来的

i, j

$i,j$ 两重循环中共出现了

,⌊na⌋,⌊na⌋ $,\lfloor\frac{n}{a}\rfloor$ 次。
现在再划开式子

[gcd(a,b)=1][gcd(a,b)=1] $[gcd(a,b)=1]$ 。
则原式为:

Σna=1a∗⌊na⌋Σnb=1∗S(⌊nb⌋)Σx|gcd(a,b)μ(x)Σa=1na∗⌊na⌋Σb=1n∗S(⌊nb⌋)Σx|gcd(a,b)μ(x) $\Sigma_{a=1}^na*\lfloor\frac{n}{a}\rfloor\Sigma_{b=1}^n*S(\lfloor\frac{n}{b}\rfloor)\Sigma_{x|gcd(a,b)}\mu(x)$

=Σnx=1μ(x)Σ⌊nx⌋a=1ax∗⌊⌊nx⌋a⌋Σ⌊nx⌋b=1S(⌊⌊nx⌋b⌋)=Σx=1nμ(x)Σa=1⌊nx⌋ax∗⌊⌊nx⌋a⌋Σb=1⌊nx⌋S(⌊⌊nx⌋b⌋) $=\Sigma_{x=1}^n\mu(x)\Sigma_{a=1}^{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}ax*\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}{a}\rfloor\Sigma_{b=1}^{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}S(\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}{b}\rfloor)$
又

Σni=1i∗⌊ni⌋=Σni=1S(⌊ni⌋)Σi=1ni∗⌊ni⌋=Σi=1nS(⌊ni⌋) $\Sigma_{i=1}^ni*\lfloor\frac{n}{i}\rfloor=\Sigma_{i=1}^nS(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)$
所以直接杜教筛搞一下就OK了。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 1000010
#define LL long long
#define mo 1000000007
#define inv2 500000004
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
LL i,j,k,l,n,m,ans,ny;
LL mu[N],pri[N];
LL md[N],smi[N];
bool bz[N];
void pre(){
    LL i,j;
    mu[1]=smi[1]=1;
    fo(i,2,N-10){
        if(!bz[i]){
            pri[++pri[0]]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=N-10;j++){
            if(i*pri[j]>N-10)break;
            bz[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)break;
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    fo(i,2,N-10){
        smi[i]=smi[i-1]+i*mu[i];
        smi[i]=smi[i]<0?smi[i]+mo:smi[i];
        smi[i]=smi[i]>0?smi[i]-mo:smi[i];
    }
}
LL Sum(LL l,LL r){
    return ((r-l+1)*(r+l)%mo)*inv2%mo;
}
LL djs(LL x){
    if(x<=N-10)return smi[x];
    if(md[n/x])return md[n/x];
    LL rs=1,i;
    for(i=2;i<=x;i=x/(x/i)+1)
        rs=(rs-Sum(i,x/(x/i))*djs(x/i)%mo+mo)%mo;
    return md[n/x]=rs;
}
LL getS(LL x){
    LL i,rs=0;
    for(i=1;i*i<=x;i++)rs=(rs+i*(x/i))%mo;
    for(;i<=x;i=x/(x/i)+1)
        rs=(rs+Sum(i,x/(x/i))*(x/i)%mo)%mo;
    return (rs*rs)%mo;
}
int main(){
    freopen("1220.in","r",stdin);
    scanf("%lld",&n);
    pre();
    ans=0;
    for(i=1;i<=n;i=n/(n/i)+1){
        k=(djs(n/(n/i))-djs(i-1)+mo)%mo;
        ans=(ans+k*getS(n/i))%mo;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}