51nod1220 约数之和

最新推荐文章于 2022-03-02 20:24:41 发布

*ACoder*

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分类专栏： # 杜教筛

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本文针对一个具体的数学算法问题，详细推导了解题过程，并利用杜教筛法进行优化，最终给出了时间复杂度为O(n^2/3)的高效求解方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题解

　　首先列出题目要求的式子
　　

a n s = \sum i = 1 n \sum j = 1 n d (i j)

$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nd(ij)$
　　一看就不会做，百度一下我就知道有一个结论，于是套上结论。
　　

a n s = \sum i = 1 n \sum j = 1 n \sum a | i \sum b | j a j b [(a, b) = 1]

$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{a|i}\sum_{b|j}\frac{aj}{b}[(a,b)=1]$
　　你问我为啥？我也不知道
　　

a n s = \sum i = 1 n \sum j = 1 n \sum a | i \sum b | j a j b \sum d | (a, b) μ (d) = \sum d = 1 n μ (d) \sum d | a n \sum d | b n \sum a | i n \sum b | j n a j b = \sum d = 1 n μ (d) \sum d | a n \sum d | b n \sum a | i n \sum b | j n a j b = \sum d = 1 n μ (d) \sum d | a d n \sum d | b d n \sum a d | i n \sum b d | j n a j b = \sum d = 1 n μ (d) \sum a = 1 ⌊ n d ⌋ \sum b = 1 ⌊ n d ⌋ \sum i = 1 ⌊ n a d ⌋ \sum j = 1 ⌊ n b d ⌋ a j b d b = \sum d = 1 n μ (d) \sum a = 1 ⌊ n d ⌋ \sum b = 1 ⌊ n d ⌋ \sum i = 1 ⌊ n a d ⌋ \sum j = 1 ⌊ n b d ⌋ a j d = \sum d = 1 n d μ (d) \sum a = 1 ⌊ n d ⌋ a ⌊ ⌊ n d ⌋ a ⌋ \sum b = 1 ⌊ n d ⌋ \sum j = 1 ⌊ n b d ⌋ j

$ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{a|i}\sum_{b|j}\frac{aj}{b}\sum_{d|(a,b)}\mu(d)\\ =\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{d|a}^n\sum_{d|b}^n\sum_{a|i}^n\sum_{b|j}^n\frac{aj}{b}\\ =\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{d|a}^n\sum_{d|b}^n\sum_{a|i}^n\sum_{b|j}^n\frac{aj}{b}\\ =\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{d|ad}^n\sum_{d|bd}^n\sum_{ad|i}^n\sum_{bd|j}^n\frac{aj}{b}\\ =\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{a=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{b=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{i=1}^{{\lfloor\frac{n}{ad}\rfloor}}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{bd}\rfloor}\frac{ajbd}{b}\\ =\sum_{d=1}^n\mu(d)\sum_{a=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{b=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{ad}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{bd}\rfloor}ajd\\ =\sum_{d=1}^nd\mu(d)\sum_{a=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}a\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}{a}\rfloor\sum_{b=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{bd}\rfloor}j$
　　最后面那两个

∑ $\sum$ 可以考虑用算贡献的方法化简
　　

\sum b = 1 ⌊ n d ⌋ \sum j = 1 ⌊ ⌊ n d ⌋ b ⌋ j = \sum j = 1 ⌊ n d ⌋ j ⌊ ⌊ n d ⌋ j ⌋

$\sum_{b=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}{b}\rfloor}j=\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}j{\lfloor\frac{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}{j}\rfloor}$
　　令

D(n) $D(n)$ 表示约数和函数

d() $d()$ 的前

n $n$ 项和。
　　

D (n) = \sum i = 1 n i ⌊ n i ⌋

$D(n)=\sum_{i=1}^ni\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$

a n s = \sum d = 1 n μ (d) D (⌊ n d ⌋) 2

$ans=\sum_{d=1}^n\mu(d)D(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)^2$
　　

dμ(d) $d\mu(d)$ 可以杜教筛，

D $D$ 则可以小数据线性筛+大数据暴力。
　　时间复杂度

O(n23) $O(n^\frac{2}{3})$

代码

//杜教筛 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define maxn 1000005
#define mod 1000000007ll
using namespace std;
typedef long long ll;
ll N, f[maxn+10], d[maxn+10];
int prime[maxn/10+10], mu[maxn+10], pr[maxn+10], prd[maxn+10];
bool mark[maxn+10];
void shai()
{
    int i, j;
    d[1]=mu[1]=1;
    for(i=2;i<maxn;i++)
    {
        if(!mark[i])prime[++*prime]=i, mu[i]=-1, d[i]=i+1, pr[i]=i, prd[i]=i;
        else
            if(prd[i]==i)d[i]=((ll)prd[i]*pr[i]-1)/(pr[i]-1);
            else d[i]=d[prd[i]]*d[i/prd[i]];
        for(j=1;i*prime[j]<maxn;j++)
        {
            mark[i*prime[j]]=1;
            pr[i*prime[j]]=prime[j];
            if(i%prime[j]==0){prd[i*prime[j]]=prd[i]*prime[j];break;}
            mu[i*prime[j]]=-mu[i];
            prd[i*prime[j]]=prime[j];
        }
    }
    for(i=1;i<maxn;i++)mu[i]=(mu[i-1]+(ll)i*mu[i])%mod, d[i]=(d[i-1]+d[i])%mod;
}
ll s1(ll x){return (x*(1+x)>>1)%mod;}
ll getf(ll n){return n<maxn?mu[n]:f[N/n];}
void djs(ll n)
{
    if(n<maxn or getf(n))return;
    ll i, last, t=N/n;
    f[t]=1;
    for(i=2;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        djs(n/i);
        f[t]=(f[t]-(s1(last)-s1(i-1))*getf(n/i))%mod;
    }
}
ll sqr(ll x){return x*x%mod;}
ll getd(ll n)
{
    if(n<maxn)return d[n];
    ll ans=0, i, last;
    for(i=1;i<=n;i=last+1)
    {
        last=n/(n/i);
        ans=(ans+(s1(last)-s1(i-1))*(n/i))%mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll i, last, ans=0, a, b, c;
    shai();
    scanf("%lld",&N);
    djs(N);
    for(i=1;i<=N;i=last+1)
    {
        last=N/(N/i);
        a=getf(last)-getf(i-1);
        b=sqr(getd(N/i));
        ans=(ans+a*b)%mod;
    }
    printf("%lld",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}