4687. 【NOIP2016提高A组8.12】奇袭

Problem

Description

由于各种原因，桐人现在被困在Under World（以下简称UW）中，而UW马上要迎来最终的压力测试——魔界入侵。
唯一一个神一般存在的Administrator被消灭了，靠原本的整合骑士的力量是远远不够的。所以爱丽丝动员了UW全体人民，与整合骑士一起抗击魔族。
在UW的驻地可以隐约看见魔族军队的大本营。整合骑士们打算在魔族入侵前发动一次奇袭，袭击魔族大本营！
为了降低风险，爱丽丝找到了你，一名优秀斥候，希望你能在奇袭前对魔族大本营进行侦查，并计算出袭击的难度。
经过侦查，你绘制出了魔族大本营的地图，然后发现，魔族大本营是一个N×N的网格图，一共有N支军队驻扎在一些网格中（不会有两只军队驻扎在一起）。
在大本营中，每有一个k×k(1≤k≤N)的子网格图包含恰好k支军队，我们袭击的难度就会增加1点。
现在请你根据绘制出的地图，告诉爱丽丝这次的袭击行动难度有多大。

Input

第一行，一个正整数N，表示网格图的大小以及军队数量。
接下来N行，每行两个整数,Xi,Yi，表示第i支军队的坐标。
保证每一行和每一列都恰有一只军队（即每一个Xi和每一个Yi都是不一样的）。

Output

一行，一个整数表示袭击的难度。

Sample Input

5
1 1
3 2
2 4
5 5
4 3

Sample Output

10

Data Constraint

对于30%的数据，N ≤ 100
对于60%的数据，N ≤ 5000
对于100%的数据，N ≤ 50000

Hint

显然，分别以(2,2)和(4,4)为左上,右下顶点的一个子网格图中有3支军队，这为我们的难度贡献了1点。
类似的子网格图在原图中能找出10个。

Solution

我们将问题转化为在N个数中，选择一段区间，使得该区间的数字连续，求方案数。
问题可以继续转化，变成：在1-n中选择连续k个数，且这连续k个数的最大值与最小值的差为k-1，求方案数。
我们可以用分治来解决这个问题。对于区间[l,r]，
$ans(l,r)=ans(l,mid)+ans(mid+1,r)+穿过mid的长度为k的区间方案数$。
对于一个合法的区间$[l,r]$，一定有：$max[mid+1,r]-min[l,mid]=r-l$。

这时出现两种情况：
①最大值和最小值同侧②最大值和最小值异侧。
我们先定义mil[x]为区间[x,mid]的最小值，mal[x]为区间[x,mid]的最大值，mir[x]为区间[mid+1,x]的最小值，mar[x]为区间[mid+1,x]的最小值。
首先分析情况①
我们假设求最小值都在左边的情况。
假设区间[i,j]合法（穿过mid），那么i在左边，
$j=mal[i]−mil[i]+i$，且$j∈[mid+1,r]，mir[j]>mil[i]，mar[j]<mal[i]$。否则不合法。
最小值都在右边的情况自己考虑。
然后分析情况②
我们先考虑最小值在左边，最大值在右边的这种情况。
我们从左到右枚举位置i，再设定两个指针z1,z2。

此时我们定义一个t数组作为桶，来存合法的情况。我们可以知道：
$mar[z1]>mal[i]$，不合法的话就$z1++，t[mar[z1]-z1]--$，直到合法为止；
$mil[i]<mir[z2]$，不合法的话就$z2++，t[mar[z2]-z2]++$，直到不合法为止。
由于$mil[i]−i=mar[j]−j$，所以区间[l,r]的答案就是$\Sigma_{i=l}^{mid} t[mil[i]-i]$。
t数组记得要清空。
另一种情况自己想。
——2016.8.18