砝码称重

砝码称重问题

问题：4个砝码，每个重量都是整数克，总重量为40克，放在天平上可以称出1～40克的物体。求这4个砝码各多少克。

1. 问题分析

设4个砝码的重量分别为w1、w2、w3、w4，则w1+w2+w3+w4=40，且w1,w2,w3,w4均为正整数。
假设不相等(假设w1<w2<w3<w4)，故砝码中最大为34克。

称重的天平有物体盘和砝码盘，称重时，若砝码只放在砝码盘，则
物体质量=砝码盘砝码质量
但若砝码盘和物体盘中都放置了砝码，则
物体质量=砝码盘砝码质量-物体盘砝码质量

从1～40，任意一个数，都应该能找到相应的砝码放置方法。砝码只有4个，且每次称重时，这4个砝码只能出现0次或者1次，且砝码要么在物体盘，要么在砝码盘，要解该问题，应该转换思路。
假设砝码在物体盘，认定其出现-1次
假设砝码在砝码盘，认定其出现1次
若该次称重，不需要该砝码，认定其出现0次

设4个砝码在每次称重中出现的次数分别为x1,x2,x3,x4，则只有-1、0、1这三种取值

如上分析，找到的砝码组合个数应该为40个（即1～40中的任意一个数都有对应的砝码组合）

2. C++版

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1. /************************************************************************  
2.  * 4个砝码，每个重量都是整数克，总重量为40克，放在天平上可以称出1～40克的  
3.  * 物体。求这4个砝码各多少克。  
4.  * C++版  
5.  ************************************************************************/   
6. #include <stdio.h>   
7.   
8. class  CWeight  
9. {  
10.     int  w1,w2,w3,w4;     //砝码的重量   
11.   
12.     //砝码总重量   
13.     static   const   int  TOTALWEIGHT=40;  
14.   
15.     //4个砝码,w1+w2+w3+w4=40,且w1,w2,w3,w4均为整数,假设不相等(假设w1<w2<w3<w4)故最大为34   
16.     static   const   int  MAXWEIGHT=34;  
17. public :  
18.     CWeight(){w1=w2=w3=w4=0;}  
19.     ~CWeight(){}  
20.   
21.     void  Calculate();  
22.     bool  weight( int  w1, int  w2, int  w3, int  w4);  
23.     void  output( int  w1, int  w2, int  w3, int  w4);  
24. };  
25.   
26. void  CWeight::Calculate()  
27. {  
28.     int  w1,w2,w3,w4;  
29.     for  (w1=1;w1<=MAXWEIGHT;w1++)  
30.     {  
31.         for  (w2=w1+1;w2<=MAXWEIGHT;w2++)  
32.         {  
33.             for  (w3=w2+1;w3<=MAXWEIGHT;w3++)  
34.             {  
35.                 for  (w4=w3+1;w4<=MAXWEIGHT;w4++)  
36.                 {  
37.                     if  (w1+w2+w3+w4==TOTALWEIGHT)  
38.                     {  
39.                         if  (weight(w1,w2,w3,w4))  
40.                         {  
41.                             printf("w1=%d w2=%d w3=%d w4=%d/n" ,w1,w2,w3,w4);  
42.                             output(w1,w2,w3,w4);  
43.                         }                         
44.                     }  
45.                 }  
46.             }  
47.         }  
48.     }  
49. }  
50.   
51. //从1～40，不管哪个重量都要找到相应的砝码放置方法   
52. //w1,w2,w3,w4分别为4个砝码的重量   
53. bool  CWeight::weight( int  w1, int  w2, int  w3, int  w4)  
54. {  
55.     int  w;   //物体重量   
56.       
57.     //砝码只有4个，且每次称重时，这4个砝码只能出现0次或者1次   
58.     //出现时，砝码要么在物体盘，要么在砝码盘，要解该问题，转换思路   
59.     //假设砝码在物体盘，认定其出现-1次   
60.     //假设砝码在砝码盘，认定其出现1次   
61.     //若该次称重，不需要该砝码，认定其出现0次   
62.     //4个砝码在每次称重中出现的次数   
63.     int  x1,x2,x3,x4;     //只有-1，0，1这三种取值   
64.   
65.     int  count=0;         //找到的砝码组合个数   
66.   
67.     //对1～40中的每个重量，都要找到相应的砝码组合   
68.     //若有一个w(1<=w<=TOTALWEIGHT)没有找到相应的砝码组合，则表明该组砝码值不是所求   
69.     for  (w=1;w<=TOTALWEIGHT;w++)   
70.     {  
71.         for  (x1=-1;x1<=1;x1++)  
72.         {  
73.             for  (x2=-1;x2<=1;x2++)  
74.             {  
75.                 for  (x3=-1;x3<=1;x3++)  
76.                 {  
77.                     for  (x4=-1;x4<=1;x4++)  
78.                     {  
79.                         if  (w1*x1+w2*x2+w3*x3+w4*x4==w)  
80.                         {  
81.                             count++;  
82.   
83.                             //找到该重量对应的砝码组合后，继续下一个重量   
84.                             x1=x2=x3=x4=2;  
85.                         }  
86.                     }  
87.                 }  
88.             }  
89.         }  
90.     }  
91.   
92.     //如果找到所有的1~TOTALWEIGHT的砝码组合,则该组砝码值即为所求   
93.     if  (count==TOTALWEIGHT)  
94.         return   true ;  
95.     else   
96.         return   false ;  
97. }  
98.   
99. //输出1～40中每个重量对应的砝码组合（负数表示该砝码放在物体盘）   
100. void  CWeight::output( int  w1, int  w2, int  w3, int  w4)  
101. {  
102.     int  w;   //物体重量   
103.     int  x1,x2,x3,x4;     //只有-1，0，1这三种取值   
104.   
105.     //对1～TOTALWEIGHT中的每个重量，都要找到相应的砝码组合   
106.     for  (w=1;w<=TOTALWEIGHT;w++)   
107.     {  
108.         for  (x1=-1;x1<=1;x1++)  
109.         {  
110.             for  (x2=-1;x2<=1;x2++)  
111.             {  
112.                 for  (x3=-1;x3<=1;x3++)  
113.                 {  
114.                     for  (x4=-1;x4<=1;x4++)  
115.                     {  
116.                         if  (w1*x1+w2*x2+w3*x3+w4*x4==w)  
117.                         {  
118.                             printf("w=%2d: " ,w);  
119.                             if  (x1!=0)  
120.                                 printf("%d " ,w1*x1);  
121.                             if  (x2!=0)  
122.                                 printf("%d " ,w2*x2);  
123.                             if  (x3!=0)  
124.                                 printf("%d " ,w3*x3);  
125.                             if  (x4!=0)  
126.                                 printf("%d " ,w4*x4);  
127.                             printf("/n" );  
128.   
129.                             //继续下一个重量   
130.                             x1=x2=x3=x4=2;  
131.                         }  
132.                     }  
133.                 }  
134.             }  
135.         }  
136.     }  
137. }  
138.   
139. int  main()  
140. {  
141.     CWeight wei;  
142.     wei.Calculate();  
143.   
144.     return  0;  
145. }  

/************************************************************************ * 4个砝码，每个重量都是整数克，总重量为40克，放在天平上可以称出1～40克的 * 物体。求这4个砝码各多少克。 * C++版 ************************************************************************/ #include <stdio.h> class CWeight { int w1,w2,w3,w4; //砝码的重量 //砝码总重量 static const int TOTALWEIGHT=40; //4个砝码,w1+w2+w3+w4=40,且w1,w2,w3,w4均为整数,假设不相等(假设w1<w2<w3<w4)故最大为34 static const int MAXWEIGHT=34; public: CWeight(){w1=w2=w3=w4=0;} ~CWeight(){} void Calculate(); bool weight(int w1,int w2,int w3,int w4); void output(int w1,int w2,int w3,int w4); }; void CWeight::Calculate() { int w1,w2,w3,w4; for (w1=1;w1<=MAXWEIGHT;w1++) { for (w2=w1+1;w2<=MAXWEIGHT;w2++) { for (w3=w2+1;w3<=MAXWEIGHT;w3++) { for (w4=w3+1;w4<=MAXWEIGHT;w4++) { if (w1+w2+w3+w4==TOTALWEIGHT) { if (weight(w1,w2,w3,w4)) { printf("w1=%d w2=%d w3=%d w4=%d/n",w1,w2,w3,w4); output(w1,w2,w3,w4); } } } } } } } //从1～40，不管哪个重量都要找到相应的砝码放置方法 //w1,w2,w3,w4分别为4个砝码的重量 bool CWeight::weight(int w1,int w2,int w3,int w4) { int w; //物体重量 //砝码只有4个，且每次称重时，这4个砝码只能出现0次或者1次 //出现时，砝码要么在物体盘，要么在砝码盘，要解该问题，转换思路 //假设砝码在物体盘，认定其出现-1次 //假设砝码在砝码盘，认定其出现1次 //若该次称重，不需要该砝码，认定其出现0次 //4个砝码在每次称重中出现的次数 int x1,x2,x3,x4; //只有-1，0，1这三种取值 int count=0; //找到的砝码组合个数 //对1～40中的每个重量，都要找到相应的砝码组合 //若有一个w(1<=w<=TOTALWEIGHT)没有找到相应的砝码组合，则表明该组砝码值不是所求 for (w=1;w<=TOTALWEIGHT;w++) { for (x1=-1;x1<=1;x1++) { for (x2=-1;x2<=1;x2++) { for (x3=-1;x3<=1;x3++) { for (x4=-1;x4<=1;x4++) { if (w1*x1+w2*x2+w3*x3+w4*x4==w) { count++; //找到该重量对应的砝码组合后，继续下一个重量 x1=x2=x3=x4=2; } } } } } } //如果找到所有的1~TOTALWEIGHT的砝码组合,则该组砝码值即为所求 if (count==TOTALWEIGHT) return true; else return false; } //输出1～40中每个重量对应的砝码组合（负数表示该砝码放在物体盘） void CWeight::output(int w1,int w2,int w3,int w4) { int w; //物体重量 int x1,x2,x3,x4; //只有-1，0，1这三种取值 //对1～TOTALWEIGHT中的每个重量，都要找到相应的砝码组合 for (w=1;w<=TOTALWEIGHT;w++) { for (x1=-1;x1<=1;x1++) { for (x2=-1;x2<=1;x2++) { for (x3=-1;x3<=1;x3++) { for (x4=-1;x4<=1;x4++) { if (w1*x1+w2*x2+w3*x3+w4*x4==w) { printf("w=%2d: ",w); if (x1!=0) printf("%d ",w1*x1); if (x2!=0) printf("%d ",w2*x2); if (x3!=0) printf("%d ",w3*x3); if (x4!=0) printf("%d ",w4*x4); printf("/n"); //继续下一个重量 x1=x2=x3=x4=2; } } } } } } } int main() { CWeight wei; wei.Calculate(); return 0; }

    

3. C#版

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1. /************************************************************************  
2.  * 4个砝码，每个重量都是整数克，总重量为40克，放在天平上可以称出1～40克的  
3.  * 物体。求这4个砝码各多少克。  
4.  * C#版  
5.  ************************************************************************/   
6. using  System;  
7. using  System.Collections.Generic;  
8. using  System.Text;  
9.   
10. namespace  Weight  
11. {  
12.     class  Program  
13.     {  
14.         //砝码总重量   
15.         const   int  TOTALWEIGHT = 40;  
16.   
17.         //4个砝码,w1+w2+w3+w4=40,且w1,w2,w3,w4均为整数,假设不相等(假设w1<w2<w3<w4)故最大为34   
18.         const   int  MAXWEIGHT = 34;  
19.   
20.         static   void  Main( string [] args)  
21.         {  
22.             int  w1, w2, w3, w4;  
23.             for  (w1 = 1; w1 <= MAXWEIGHT; w1++)  
24.             {  
25.                 for  (w2 = w1 + 1; w2 <= MAXWEIGHT; w2++)  
26.                 {  
27.                     for  (w3 = w2 + 1; w3 <= MAXWEIGHT; w3++)  
28.                     {  
29.                         for  (w4 = w3 + 1; w4 <= MAXWEIGHT; w4++)  
30.                         {  
31.                             if  (w1 + w2 + w3 + w4 == TOTALWEIGHT)  
32.                             {  
33.                                 if  (weight(w1, w2, w3, w4))  
34.                                 {  
35.                                     System.Console.WriteLine("w1={0} w2={1} w3={2} w4={3} " , w1, w2, w3, w4);  
36.                                     output(w1, w2, w3, w4);  
37.                                 }  
38.                             }  
39.                         }  
40.                     }  
41.                 }  
42.             }  
43.         }  
44.   
45.         //从1～40，不管哪个重量都要找到相应的砝码放置方法   
46.         //w1,w2,w3,w4分别为4个砝码的重量   
47.         static   bool  weight( int  w1,  int  w2,  int  w3,  int  w4)  
48.         {  
49.             int  w;   //物体重量   
50.   
51.             //砝码只有4个，且每次称重时，这4个砝码只能出现0次或者1次   
52.             //出现时，砝码要么在物体盘，要么在砝码盘，要解该问题，转换思路   
53.             //假设砝码在物体盘，认定其出现-1次   
54.             //假设砝码在砝码盘，认定其出现1次   
55.             //若该次称重，不需要该砝码，认定其出现0次   
56.             //4个砝码在每次称重中出现的次数   
57.             int  x1, x2, x3, x4;  //只有-1，0，1这三种取值   
58.   
59.             int  count = 0;       //找到的砝码组合个数   
60.   
61.             //对1～40中的每个重量，都要找到相应的砝码组合   
62.             //若有一个w(1<=w<=TOTALWEIGHT)没有找到相应的砝码组合，则表明该组砝码值不是所求   
63.             for  (w = 1; w <= TOTALWEIGHT; w++)  
64.             {  
65.                 for  (x1 = -1; x1 <= 1; x1++)  
66.                 {  
67.                     for  (x2 = -1; x2 <= 1; x2++)  
68.                     {  
69.                         for  (x3 = -1; x3 <= 1; x3++)  
70.                         {  
71.                             for  (x4 = -1; x4 <= 1; x4++)  
72.                             {  
73.                                 if  (w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3 + w4 * x4 == w)  
74.                                 {  
75.                                     count++;  
76.   
77.                                     //找到该重量对应的砝码组合后，继续下一个重量   
78.                                     x1 = x2 = x3 = x4 = 2;  
79.                                 }  
80.                             }  
81.                         }  
82.                     }  
83.                 }  
84.             }  
85.   
86.             //如果找到所有的1~TOTALWEIGHT的砝码组合,则该组砝码值即为所求   
87.             if  (count == TOTALWEIGHT)  
88.                 return   true ;  
89.             else   
90.                 return   false ;  
91.         }  
92.   
93.         //输出1～40中每个重量对应的砝码组合（负数表示该砝码放在物体盘）   
94.         static   void  output( int  w1,  int  w2,  int  w3,  int  w4)  
95.         {  
96.             int  w;   //物体重量   
97.             int  x1, x2, x3, x4;  //只有-1，0，1这三种取值   
98.   
99.             //对1～TOTALWEIGHT中的每个重量，都要找到相应的砝码组合   
100.             for  (w = 1; w <= TOTALWEIGHT; w++)  
101.             {  
102.                 for  (x1 = -1; x1 <= 1; x1++)  
103.                 {  
104.                     for  (x2 = -1; x2 <= 1; x2++)  
105.                     {  
106.                         for  (x3 = -1; x3 <= 1; x3++)  
107.                         {  
108.                             for  (x4 = -1; x4 <= 1; x4++)  
109.                             {  
110.                                 if  (w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3 + w4 * x4 == w)  
111.                                 {  
112.                                     System.Console.Write("w={0}: " , w);  
113.                                     if  (x1 != 0)  
114.                                         System.Console.Write("{0} " , w1 * x1);  
115.                                     if  (x2 != 0)  
116.                                         System.Console.Write("{0} " , w2 * x2);  
117.                                     if  (x3 != 0)  
118.                                         System.Console.Write("{0} " , w3 * x3);  
119.                                     if  (x4 != 0)  
120.                                         System.Console.Write("{0} " , w4 * x4);  
121.                                     System.Console.WriteLine();  
122.   
123.                                     //继续下一个重量   
124.                                     x1 = x2 = x3 = x4 = 2;  
125.                                 }  
126.                             }  
127.                         }  
128.                     }  
129.                 }  
130.             }  
131.         }  
132.     }  
133. }  

/************************************************************************ * 4个砝码，每个重量都是整数克，总重量为40克，放在天平上可以称出1～40克的 * 物体。求这4个砝码各多少克。 * C#版 ************************************************************************/ using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; namespace Weight { class Program { //砝码总重量 const int TOTALWEIGHT = 40; //4个砝码,w1+w2+w3+w4=40,且w1,w2,w3,w4均为整数,假设不相等(假设w1<w2<w3<w4)故最大为34 const int MAXWEIGHT = 34; static void Main(string[] args) { int w1, w2, w3, w4; for (w1 = 1; w1 <= MAXWEIGHT; w1++) { for (w2 = w1 + 1; w2 <= MAXWEIGHT; w2++) { for (w3 = w2 + 1; w3 <= MAXWEIGHT; w3++) { for (w4 = w3 + 1; w4 <= MAXWEIGHT; w4++) { if (w1 + w2 + w3 + w4 == TOTALWEIGHT) { if (weight(w1, w2, w3, w4)) { System.Console.WriteLine("w1={0} w2={1} w3={2} w4={3} ", w1, w2, w3, w4); output(w1, w2, w3, w4); } } } } } } } //从1～40，不管哪个重量都要找到相应的砝码放置方法 //w1,w2,w3,w4分别为4个砝码的重量 static bool weight(int w1, int w2, int w3, int w4) { int w; //物体重量 //砝码只有4个，且每次称重时，这4个砝码只能出现0次或者1次 //出现时，砝码要么在物体盘，要么在砝码盘，要解该问题，转换思路 //假设砝码在物体盘，认定其出现-1次 //假设砝码在砝码盘，认定其出现1次 //若该次称重，不需要该砝码，认定其出现0次 //4个砝码在每次称重中出现的次数 int x1, x2, x3, x4; //只有-1，0，1这三种取值 int count = 0; //找到的砝码组合个数 //对1～40中的每个重量，都要找到相应的砝码组合 //若有一个w(1<=w<=TOTALWEIGHT)没有找到相应的砝码组合，则表明该组砝码值不是所求 for (w = 1; w <= TOTALWEIGHT; w++) { for (x1 = -1; x1 <= 1; x1++) { for (x2 = -1; x2 <= 1; x2++) { for (x3 = -1; x3 <= 1; x3++) { for (x4 = -1; x4 <= 1; x4++) { if (w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3 + w4 * x4 == w) { count++; //找到该重量对应的砝码组合后，继续下一个重量 x1 = x2 = x3 = x4 = 2; } } } } } } //如果找到所有的1~TOTALWEIGHT的砝码组合,则该组砝码值即为所求 if (count == TOTALWEIGHT) return true; else return false; } //输出1～40中每个重量对应的砝码组合（负数表示该砝码放在物体盘） static void output(int w1, int w2, int w3, int w4) { int w; //物体重量 int x1, x2, x3, x4; //只有-1，0，1这三种取值 //对1～TOTALWEIGHT中的每个重量，都要找到相应的砝码组合 for (w = 1; w <= TOTALWEIGHT; w++) { for (x1 = -1; x1 <= 1; x1++) { for (x2 = -1; x2 <= 1; x2++) { for (x3 = -1; x3 <= 1; x3++) { for (x4 = -1; x4 <= 1; x4++) { if (w1 * x1 + w2 * x2 + w3 * x3 + w4 * x4 == w) { System.Console.Write("w={0}: ", w); if (x1 != 0) System.Console.Write("{0} ", w1 * x1); if (x2 != 0) System.Console.Write("{0} ", w2 * x2); if (x3 != 0) System.Console.Write("{0} ", w3 * x3); if (x4 != 0) System.Console.Write("{0} ", w4 * x4); System.Console.WriteLine(); //继续下一个重量 x1 = x2 = x3 = x4 = 2; } } } } } } } } }

4. 运行结果

说明：第一行表示4个砝码的质量分别为1，3，9，27

         其他行，负数表示该砝码放在物体盘，正数表示该砝码放在砝码盘

w1=1 w2=3 w3=9 w4=27
w= 1: 1
w= 2: -1 3
w= 3: 3
w= 4: 1 3
w= 5: -1 -3 9
w= 6: -3 9
w= 7: 1 -3 9
w= 8: -1 9
w= 9: 9
w=10: 1 9
w=11: -1 3 9
w=12: 3 9
w=13: 1 3 9
w=14: -1 -3 -9 27
w=15: -3 -9 27
w=16: 1 -3 -9 27
w=17: -1 -9 27
w=18: -9 27
w=19: 1 -9 27
w=20: -1 3 -9 27
w=21: 3 -9 27
w=22: 1 3 -9 27
w=23: -1 -3 27
w=24: -3 27
w=25: 1 -3 27
w=26: -1 27
w=27: 27
w=28: 1 27
w=29: -1 3 27
w=30: 3 27
w=31: 1 3 27
w=32: -1 -3 9 27
w=33: -3 9 27
w=34: 1 -3 9 27
w=35: -1 9 27
w=36: 9 27
w=37: 1 9 27
w=38: -1 3 9 27
w=39: 3 9 27
w=40: 1 3 9 27