11、概率理论的 C∗ -代数表示：基础与原理

概率理论的 C∗ -代数表示：基础与原理

在概率理论的研究中，有许多关键概念和原理对于理解系统的状态、事件以及它们之间的相互作用至关重要。本文将深入探讨概率理论中的一些核心概念，包括测试、状态、级联、条件化、变换、效应等，并介绍相关的公理和性质。

1. 基本原理

在概率理论的公理化过程中，遵循以下三个一般原则：
- 强哥本哈根原则 ：所有事物，包括数学对象，都通过操作来定义。操作上不可区分的实体被视为相同的。例如，系统可以被看作是一组测试的集合，即可以对系统执行的测试。具有相同概率和相同条件化的事件在操作上被视为相同。此外，状态集和效应集相互分离，即不同的状态会导致不同的效应，反之亦然。
- 数学完备性原则 ：为了方便起见，进行数学上的完备化。例如，范数闭包、代数闭包和线性张成等。这些通常是操作极限情况的理想化，或者是为了简化数学表述而引入的。
- 操作完备性原则 ：将表述中隐含的每个操作选项都纳入公理框架。例如，凸闭包、粗粒化闭包等，这些在概率表述中已经隐含。

2. 测试与状态

• 测试 ：概率操作框架是一组测试的集合，每个测试由一组相互排斥的事件组成，这些事件以概率方式发生。相同的事件可以在不同的测试中出现，且其发生概率与测试无关。单元素测试（也称为通道）是确定性的，代表自由演化。事件的并集对应于其中一个事件发生但不知道是哪一个的情况。事件的细化是一组事件，其并集等于该事件。实验本身可以被视为对应于其所有结果的完全并集的确定性事件。