二分图基础

相关概念

二分图：给定一个图G=（V, E），其中V是该图的顶点集合，E为该图的边集。如果该图的所有顶点能够分成两个集合X，Y，并且这两个集合内的任意两个点之间都没有边相连，则可称这样的图为二分图。

最大匹配：在一个二分图中找出尽量多的边，使得这些边中任意两条边之间都没有公共点，找出来的最多的边数就是该二分图的最大匹配。

最大独立集：在一个二分图中找出尽量多的点，使得这些点中任意两个点之间都不相连，找出来的最多的点数就是该二分图的最大独立集。最大独立集=顶点数-最大匹配。

最小顶点覆盖：在一个二分图中找出尽量少的点，使得该图的所有边都至少和其中一个顶点相连，找出来的最少的点数就是最小顶点覆盖数。最小顶点覆盖=最大匹配。

最小路径覆盖：在一个二分图中找出尽量少的路径，使这些路径能够覆盖图中的所用顶点，并且图中的每一个顶点有且只有一条路径与之关联。最小路径覆盖=最大独立集。

匈牙利算法求最大匹配：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
const int INF=10000;
bool map[INF][INF],visit[INF];//map[INF][INF]用来存图，visit[INF]用来标记是否被访问
int link[INF]; //link[i]用来记录点i的前驱
int m,n,k; //m,n为二分图两两部分点的个数，k为边数

// 初始化
void initial()
{
    int x,y;
    memset(map,0,sizeof(map));
    for(int i=0;i<k;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        map[x][y]=true;
    }
}

//匈牙利算法
bool dfs(int x)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(map[x][i] && !visit[i]) //如果点x和点i之间有边并且未被访问过
    {
        visit[i]=true; // 标记点i
        if(link[i]==-1 || dfs(link[i])) // 如果点i没有前驱或者点link[i]没有前驱
        {
            link[i]=x; 
            return true;
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d%d",&m,&n,&k))
    {
        int ans=0;
        initial();
        memset(link,-1,sizeof(link));
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            memset(visit,0,sizeof(visit));
            if(dfs(i)) ans++;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

二分图问题的关键在于建图，建出了图，二分图的题基本上都是迅速水过啦。。。