动态规划

动态规划（DP）

看B站中动态规划视频学习总结，链接：
【https://www.bilibili.com/video/BV1j7411u7en】
动态规划一般用于求解优化问题，例如最大、最小、最重、最长等

动态规划一般由三个部分组成：
DP=递归+记忆+猜测

我们以斐波拉契数列为例，讲解动态规划为何分这三部分。
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{x=0,1}\\ f(x-1)+f(x-2)& \text{其他}\end{array}$$
递归实现树形图，以f(5)为例

从递归树形图中我们可以看出f(3）、f(2)进行了多次求解，若我们在第一次求解f(3）、f(2)后将其存储到列表中，当再次使用时直接进行查表，减少了多余计算量。

f(0)	0
f(1)	1
f(2)	1
f(3)	2
f(4)	3
f(5)	5

当有了记录表，我们得递归树形图可表示为

这便是动态规划中得递归，对于猜测我们在实例中讲解
在动态规划过程中，我们就是将一个大问题【例如f(5)】转换成一个个小问题，并在求解小问题记录可再次利用的中间值【例如f(2),f(3)】

动态规划问题求解基本步骤

1. 定义子问题
   $$x\in X$$
   子问题x是原问题X的一部分（原问题一般指输入数据的规模）
   输入数据：一般按序列处理，在求解过程中一般使用前缀法、中缀法、后缀法
3. 定义子问题
   $$x\in X$$
   子问题x是原问题X的一部分（原问题一般指输入数据的规模）

输入数据：一般按序列处理，在求解过程中一般使用前缀法、中缀法、后缀法

2. 建立子问题关系（递归）

• 猜测（不妨设，启动求解过程）
• 子问题的解<—>递归树形图中的节点
  子问题求解过程就是节点的遍历（其中节点需要满足拓扑排序：当前节点只与已求解的节点有关）

3. 明确边界条件
4. 得到原问题的解（自低向上实现）

• 表上遍历

5. 分析时间复杂度
   O(n)=子问题的个数 x 每一个子问题的求解时间

例题：拾硬币

Input: c[0] c[1] c[2] … c[n-1] (硬币列表)
[5 1 2 10 6 2]
Output:拾三枚硬币使得硬币累加和最大，其中相邻不能捡
优化问题：“最大”
Algo1:

1. 生成所有子序列
2. 去除不满足条件的序列
3. 所有剩余序列累加和最大
4. 时间复杂度$$O(2^n)$$

DP(步骤和动态规划问题求解基本步骤相对应):

1. 定义子问题
   原问题：求解拾三枚硬币使得硬币累加和最大（相邻不能捡）
   子问题：前i个硬币c[0:i]中拾硬币使得硬币累加和最大的解记作DP[i]（相邻不能捡）
   

2. 建立子问题关系（递归）
   猜测：子问题之间的关系
   $$DP(i)=max\{\begin{array}{ll}DP[i-2]+c[i]& \text{第i个硬币包含拾捡硬币中}\\ DP[i-1]& \text{第i个硬币不包含拾捡硬币中}\end{array}$$
   

3. 明确边界条件
   DP[0]=c[0] (只有一枚硬币时，拾这一枚硬币为最大)

4. 得到原问题的解（自低向上实现）

i	0	1	2	3	4	5
c[i]	5	1	2	10	6	2
DP[i]	5	5	7	15	15	17

5. 时间复杂度O(n)