如何通俗理解“协方差”和“相关系数”

最新推荐文章于 2022-12-13 14:32:50 发布
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文章标签： 协方差 相关系数 python 科学计算 相似度
本文深入浅出地解释了协方差和相关系数的概念及其应用，通过实例帮助读者理解这两种统计量如何衡量变量间的关系强度及方向。

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这篇文章将“协方差”和“相关系数”讲解的非常透彻清晰。

转载自：

https://www.zhihu.com/question/20852004

housong_csdn
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协方差的理解
zydxnyy的博客
05-10 5773
  之前对于协方差一直不是非常理解，今天在做数据挖掘作业的时候又再次看到了协方差，所以就想着今天搞懂他。  当然，还是要请教李彦宏大师。  通过下文两篇文章，算是对协方差有了一个初步的，比较形象的了解了。  浅谈协方差矩阵  协方差的意义  我们描述一个一维的数据，可以用数学期望值E（X）来表示数据的平均值，也可以用一个方差S（X）来表示数据的离散程度。  但如果涉及到二维的数据，我们如何描述它的...
标准差，协方差与相关系数
qq_40777691的博客
04-04 1万+
学过概率统计的孩子都知道，统计里最基本的概念就是样本的均值，方差，或者再加个标准差。首先我们给你一个含有n个样本的集合，依次给出这些概念的公式描述，这些高中学过数学的孩子都应该知道吧，一带而过。 很显然，均值描述的是样本集合的中间点，它告诉我们的信息是很有限的，而标准差给我们描述的则是样本集合的各个样本点到均值的距离之平均。以这两个集合为例，[0，8，12，20]和[8，9，11，12]，两个集...
统计计量 | 协方差和相关系数的暧昧关系：共性与个性
数据派THU
10-03 786
来源：硬数据 本文约1900字，建议阅读5分钟本文为你介绍协方差和相关系数的关系。Part1 方差之前介绍了方差是用来刻画数据波动性的统计量，那么协方差就是描述两个变量之间的变动关系。...
如何通俗易懂地解释「协方差」与「相关系数」的概念？
JackieFrederickHYZ的博客
04-28 9673
一、协方差： 可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？ 你变大，同时我也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。 你变大，同时我变小，说明两个变量是反向变化的，这时协方差就是负的。 从数值来看，协方差的数值越大，两个变量同向程度也就越大。反之亦然。 咱们从公式出发来理解一下： 公式简单翻译一下是：如果有X,Y两个变量，
协方差代表的意义是什么?
weixin_34245082的博客
01-11 988
协方差代表的意义是什么?      在概率论中，两个随机变量 X 与 Y 之间相互关系，大致有下列3种情况：                               情况一,如上, 当 X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，大致上有： X 越大  Y 也越大， X 越小  Y 也越小，这种情况，我们称为“正相关”。   情况二, 如上图, 当X, Y 的联合分布像上图那样时，我们...
通俗理解协方差
ankuai2015的博客
11-10 665
协方差表示两个变量同向或反向的程度，协方差为正，说明X,Y同向变化，协方差越大说明同向程度越高，协方差为负，说明 X,Y反向运动，协方差越小说明反向程度 越高， https://www.zhihu.com/question/20852004 cov(x,y)=E[(x-ux)(y-uy] 转载于:https://www.cnblogs.com/xqnq2007/p/78163...
协方差与相关系数 numpy中cov与corrcoef的使用
小白进阶的博客
09-12 4万+
协方差与相关系数协方差与相关系数 协方差 相关系数 1.协方差如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值时另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值；如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个变量大于自身的期望值时另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？
java 协方差矩阵_深入理解协方差矩阵
weixin_33536190的博客
02-13 437
首先给出几个定义:期望: 反应了函数f(x)在某个分布P(x)下的平均表现, 记为: $E_{x \sim P}[f(x)]=\int{p(x)f(x)dx}$协方差: 反应两个变量之间线性相关的强度，记为$Cov(f(x),g(x))= E[(f(x)-E[f(x)])(g(x)-E(g(x)))]$关于协方差的特性:若协方差绝对值很大, 则变量值得变化很大, 且相距各自均值很远若协方差为正, ...
概论_第4章__协方差Cov(X)的定义和性质___相关系数的定义和性质
华工的专栏
12-13 1万+
协方差， 应用于二维随机变量
相关系数r和决定系数R2的那些事
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给永远比拿愉快
01-07 9万+
文章目录相关系数$r$和决定系数$R^2$的那些事协方差与相关系数决定系数（R方）参考资料 相关系数rrr和决定系数R2R^2R2的那些事 有人说相关系数（correlation coefficient，rrr）和决定系数（coefficient of determination，R2R^2R2，读作R-Squared）都是评价两个变量相关性的指标，且相关系数的平方就是决定系数？这种说法对不对呢？...
理解协方差
Arcpii的博客
07-25 384
理解协方差
如何理解协方差
qq_40464599的博客
08-02 334
看原文：https://blog.youkuaiyun.com/northeastsqure/article/details/50163031 当X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出：既不是X 越大Y 也越大，也不是 X 越大 Y 反而越小，这种情况我们称为“不相关”。 怎样将这3种相关情况，用一个简单的数字表达出来呢？ 在图中的区域（1）中，有 X>EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0； 在图中的区域（2）中，有X<EX ，Y-EY>...
通俗理解协方差与相关系数
见贤思齐
07-25 1127
参考知乎： https://www.zhihu.com/question/20852004 协方差就是俩人跳舞的舞步协同程度，如果一起向前走或者向后退，协方差就是正值；如果一个朝前一个朝后，协方差就是负值；如果各自都不动，就是零。 相关系数就是标准化的协方差，就是剔除了俩人舞步尺度大小不一的影响...
协方差局长你_如何通俗理解“协方差”和“相关系数”
weixin_35909607的博客
02-11 229
展开全部相关系数概念在评价62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333365663439图像的处理效果方面很有用，因为很多时候我们需要只要处理后图像与原图像的关系。一、协方差： 可以通俗的理解为：两个变量在变化过程中是同方向变化？还是反方向变化？同向或反向程度如何？你变大，同时我也变大，说明两个变量是同向变化的，这时协方差就是正的。你变大，同时我变小，说明两个变...
协方差直观理解
Chinge
05-24 1320
协方差其意义： 度量各个维度偏离其均值的程度。协方差的值如果为正值，则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义)，结果为负值就说明负相关的，如果为0，也是就是统计上说的“相互独立”。 如果正相关，这个计算公式，每个样本对（Xi, Yi）,　每个求和项大部分都是正数，即两个同方向偏离各自均值，而不同时偏离的也有，但是少，这样当样本多时，总和结果为正。下面这个图就很直观。下面转载自：ht...
只用一句话，如何理解协方差的及其原理
for_stm32的博客
09-27 1481
今天在复习协方差的公式的时候，猛然惊醒协防方差为什么能表示两个随机变量的相关程度。 首先看一下方差的公式： 然后再看一下协方差的公式： 你能看出二者的差别仅仅是把第i个X换成了Y而已，如果说方差是“X与均值的差的平方”，那么协方差就是“X和Y与均值的差的乘积”，那么协方差为什么能表示X与Y之间的相关程度呢？ 如果第i个X距离均值远，第i个Y距离均值也远，自然他们的乘积就大了，如果其中一个方向反...
协方差矩阵奇异是什么意思
最新发布
03-21
<think>好的，用户现在问的是“协方差矩阵奇异是什么意思”。我需要先理解用户的问题到底是什么。协方差矩阵奇异在统计学和机器学习中是一个比较常见的概念，但用户可能不太清楚其具体含义和影响。首先，我应该回顾协方差矩阵的基本定义，然后解释奇异矩阵的数学意义，再结合这两者来说明协方差矩阵奇异的情况。 首先，协方差矩阵是用来描述多个随机变量之间的协方差关系的矩阵。对于一个有n维的数据集，协方差矩阵是一个n×n的矩阵，其中对角线上的元素是各个变量的方差，非对角线上的元素是不同变量之间的协方差。协方差矩阵是对称且半正定的，这意味着它的所有特征值都是非负的。 接下来，奇异矩阵在数学上指的是行列式为零的方阵，也就是不可逆的矩阵。当一个矩阵是奇异的，说明它的列（或行）线性相关，即存在某种线性组合可以得到零向量，这表示矩阵中的某些信息是冗余的，缺少独立性。 那么，协方差矩阵奇异的情况，就是说这个协方差矩阵不可逆。这通常发生在数据中存在完全线性相关的变量，或者数据的维度超过了样本数量（即变量数目多于样本数目）。例如，在数据集中如果有两个变量是完全线性相关的，比如一个变量是另一个变量的倍数，这时候协方差矩阵就会变得奇异，因为其中一个变量没有提供新的信息。 这种情况在实际应用中会带来什么问题呢？例如，在多元统计分析中，很多方法需要计算协方差矩阵的逆矩阵，比如马氏距离、线性判别分析（LDA）等。如果协方差矩阵是奇异的，逆矩阵不存在，这些方法就无法直接应用，可能会导致计算错误或结果不可靠。 用户可能是在使用某些统计方法时遇到了协方差矩阵奇异的问题，导致程序报错或者结果异常。因此，用户需要了解为什么会出现这种情况，以及如何解决。可能的解决方法包括增加样本量、减少变量数目、使用正则化方法（比如在协方差矩阵中加上一个小的正数对角线，使其非奇异），或者应用降维技术如主成分分析（PCA）来消除变量之间的线性相关性。 我还需要考虑用户可能的背景。用户可能不是数学或统计专业的人士，所以需要用更通俗的语言解释，避免过多的数学术语。同时，用户可能需要具体的例子或步骤来解决他们遇到的问题，因此提供实际的解决方法是必要的。 例如，假设用户在处理高维数据时遇到了协方差矩阵奇异的问题，我可以建议他们检查数据中是否存在完全相关的变量，或者是否样本量过少。另外，使用伪逆矩阵或者正则化技术也是常见的解决方案。此外，用户可能需要了解如何检测协方差矩阵是否奇异，比如计算行列式或条件数，或者使用矩阵的秩来判断。 总结来说，我需要解释协方差矩阵奇异的原因、影响以及解决方法，并且用用户容易理解的语言和例子来说明，同时提供实际的操作建议，帮助用户解决他们可能遇到的问题。</think>协方差矩阵奇异是指该矩阵**不可逆**（即行列式为零），通常意味着数据中存在以下问题： --- ### **1. 数学本质** - **奇异矩阵**：行列式为0的方阵，无法求逆矩阵。 - **协方差矩阵**：描述多维数据变量间相关性的对称矩阵，数学上必须满足**半正定**（所有特征值≥0）。 **当协方差矩阵奇异时，至少有一个特征值为0**，导致矩阵秩不足。 --- ### **2. 常见原因** #### **(1) 变量完全线性相关** 若数据中存在**冗余变量**（如某列是其他列的线性组合），协方差矩阵必奇异。 **示例**： 若数据中有两列 $X_1$ 和 $X_2$，且 $X_2 = 2X_1$，则协方差矩阵行列式为0。 #### **(2) 样本量不足** 当**样本数少于变量数**（$n < p$）时，协方差矩阵必然奇异。 **示例**： 用3个样本计算5个变量的协方差矩阵，矩阵秩最多为3，无法满秩（秩=5）。 #### **(3) 数据预处理错误** - 未正确标准化导致数值不稳定 - 数据中存在全零列或常数列（方差为0） --- ### **3. 实际影响** 协方差矩阵奇异会导致依赖其逆矩阵的算法失效，例如： - **多元高斯分布**：无法计算概率密度（需逆矩阵） - **马氏距离（Mahalanobis Distance）**：无法衡量数据点与分布的距离 - **主成分分析（PCA）**：无法正确提取主成分 - **线性判别分析（LDA）**：无法求解投影矩阵 --- ### **4. 解决方法** | **方法** | **具体操作** | **适用场景** | |-------------------------|----------------------------------------------------------------------------|----------------------------------| | **删除冗余变量** | 检查并移除线性相关的列（如用相关系数矩阵或方差膨胀因子VIF筛选） | 变量间存在明确冗余关系 | | **增加样本量** | 收集更多数据，确保样本数 $n > p$（变量数） | 样本量不足导致奇异 | | **正则化（平滑）** | 对协方差矩阵添加微小扰动：$\Sigma_{\text{reg}} = \Sigma + \lambda I$（$\lambda>0$） | 高维数据且无法增删变量 | | **降维处理** | 使用PCA等算法减少变量维度，消除线性相关性 | 变量过多且存在隐含相关性 | | **伪逆（Pseudo-inverse）**| 用Moore-Penrose伪逆代替普通逆矩阵 | 仅需逆矩阵计算，不追求严格可逆 | --- ### **5. MATLAB/Python检测示例** #### **MATLAB** ```matlab % 计算协方差矩阵 cov_matrix = cov(data_matrix); % 检查是否奇异 if det(cov_matrix) == 0 disp('协方差矩阵奇异！'); end % 或检查条件数 cond_number = cond(cov_matrix); % 若接近1e16（机器精度倒数），视为奇异 ``` #### **Python** ```python import numpy as np cov_matrix = np.cov(data_matrix, rowvar=False) rank = np.linalg.matrix_rank(cov_matrix) if rank < cov_matrix.shape[0]: print("协方差矩阵奇异！") ``` --- ### **总结** 协方差矩阵奇异本质是数据中存在**信息冗余**或**样本不足**，需结合具体场景选择数据清洗、正则化或降维等方法处理。
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