CodeForces 402E Strictly Positive Matrix

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本文探讨了如何通过矩阵幂运算判断矩阵中元素是否全为正，并利用图论中的Tarjan算法判断矩阵构成的图是否为强连通分量。详细解释了从矩阵到图的转换方法，以及如何利用Tarjan算法进行强连通分量的判断。

题意：

一个矩阵a 问 a^k矩阵中是不是所有元素都是正的

思路：

将矩阵图化正为1表示有路 0还是0表示无路那么a^k中a[i][j]如果是+说明从i点有正好走k步就可以到达j点的路

如果整个矩阵都是+ 说明任意两点可达即整幅图强连通因此tarjan判断强连通分量如果不是1就是NO

这里不用考虑步数问题因为图中有自环

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define M 2010

int maz[M][M],st[M],dfn[M],instack[M],low[M];
int n,cnt,top,idx;

template <class T>
inline void scan_d(T &ret) {
	char c; ret=0;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
	while(c>='0'&&c<='9') ret=ret*10+(c-'0'),c=getchar();
}

void tarjan(int u)
{
    int i,v;
    dfn[u]=low[u]=++idx;
    instack[u]=1;
    st[++top]=u;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!maz[u][i]) continue;
        v=i;
        if(dfn[v]==-1)
        {
            tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
        }
        else if(instack[v]&&dfn[v]<low[u]) low[u]=dfn[v];
    }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        cnt++;
        do
        {
            v=st[top--];
            instack[v]=0;
        }while(u!=v);
    }
}

void solve()
{
    int i;
    top=cnt=idx=0;
    memset(dfn,-1,sizeof(dfn));
	memset(instack,0,sizeof(instack));
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(dfn[i]==-1) tarjan(i);
}

int main()
{
    int i,j,k;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            scan_d(k);
            if(k) maz[i][j]=1;
        }
    solve();
    if(cnt>1) printf("NO\n");
    else printf("YES\n");
    return 0;
}