P、NP、NPC和NP-Hard问题详解

先上一张图，后面慢慢写：

要弄清楚P、NP、NPC和NP-Hard问题，需要先了解一下时间复杂度；然后再考察我们所关注问题是不是可解。

1 时间复杂度

1.1 什么是时间复杂度

时间复杂度又叫做时间复杂性，用以从时间维度上定性描述算法运行消耗的时间。

算法的运行时间受多种因素影响。

其一：计算机本身性能的不同在很大程度上影响着算法运行所需的时间。抛开计算机性能的影响，可知算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比。因此，可以用算法中语句的执行次数（频度）对算法运行时间进行定量的分析。

其二：不同规模的输入值会导致算法运行所需时间不同。当问题规模扩大时，算法运行时间的增长速度是完全不同的。比如：在长度为n的数组中查找最小值，当n增大时，所需的随着n的增长而线性增长；但在冒泡排序中，数组长度增加2倍，所需时间将增加4倍。

其三：相同规模但数据不同的输入值也会影响算法的运行时间。对于此种情况，我们通常采用算法运行的最坏情况来计算时间复杂度，即任意大小的输入n所需的最大运行时间。

因此，我们通常按照问题规模来定义时间复杂度，而不是考量算法真实的运行时间，即只关注算法运行时间随问题规模增长的变化趋势。

时间复杂度通常用大O符号表示，记作：T(n) = O(f(n))（算法的渐进时间复杂度），其中*f(n)*表示每行代码执行的次数之和，O表示正比例关系。

1.2 常见时间复杂度

常见的时间复杂度有：
常数阶O(1)
对数阶O(logN)
线性阶O(n)
线性对数阶O(nlogN)
平方阶O(n²)
立方阶O(n³)
K次方阶O(n^k)
指数阶(2^n)
可以看出：这些时间复杂度从上到下越来越大，执行效率越来越低。

1.3 时间复杂度级别

时间复杂度可分成两种级别：一种是多项式级别复杂度，其特征是规模n出现在底数的位置，例如：常数阶O(1)、对数阶O(logN)、线性阶O(n)、平方阶O(n²)、立方阶O(n³)、K次方阶O(n^{k)等；一种是**非多项式级别复杂度**，比如：指数阶O(2}n)，阶乘阶O(n!)，此类情况往往是计算机不可承受的。

注意：我们在解决一个问题时，通常要选择多项式级别复杂度的算法。除非问题规模较小，尽量不采用非多项式级别复杂度的算法。

问题

实例