【项目3 - 体验复杂度】
在数据结构与算法中,对于算法的选择,要考虑到时间复杂度的重要性,在小规模的计算中,或许不同时间复杂度的程序所用时间并无多少影响,但在实际应用中,大数据时代,我们会明白复杂度不同对于算法的差异,下面将用实际例子体验复杂度。
排序是计算机科学中的一个基本问题,产生了很多种适合不同情况下适用的算法,也一直作为算法研究的热点。本项目提供两种排序算法,复杂度为O(n2)的选择排序selectsort,和复杂度为O(nlogn)的快速排序quicksort,在main函数中加入了对运行时间的统计。
我们将以近十万条数据作为输入测试体验。
选择排序的源程序 (复杂度是O(n2))
- #include <stdio.h>
- #include <time.h>
- #include <stdlib.h>
- #define MAXNUM 100000
- void selectsort(int a[], int n)
- {
- int i, j, k, tmp;
- for(i = 0; i < n-1; i++)
- {
- k = i;
- for(j = i+1; j < n; j++)
- {
- if(a[j] < a[k])
- k = j;
- }
- if(k != j)
- {
- tmp = a[i];
- a[i] = a[k];
- a[k] = tmp;
- }
- }
- }
-
- int main()
- {
- int x[MAXNUM];
- int n = 0;
- double t1,t2;
- FILE *fp;
- fp = fopen("numbers.txt", "r");
- if(fp==NULL)
- {
- printf("打开文件错!请下载文件,并将之复制到与源程序文件同一文件夹下。\n");
- exit(1);
- }
- while(fscanf(fp, "%d", &x[n])!=EOF)
- n++;
- printf("数据量:%d, 开始排序....", n);
- t1=time(0);
- selectsort(x, n);
- t2=time(0);
- printf("用时 %d 秒!", (int)(t2-t1));
- fclose(fp);
- return 0;
- }
快速排序源代码 (
复杂度为
O(nlogn))
- #include <stdio.h>
- #include <time.h>
- #include <stdlib.h>
- #define MAXNUM 100000
- void quicksort(int data[],int first,int last)
- {
- int i, j, t, base;
- if (first>last)
- return;
- base=data[first];
- i=first;
- j=last;
- while(i!=j)
- {
- while(data[j]>=base && i<j)
- j--;
- while(data[i]<=base && i<j)
- i++;
-
- if(i<j)
- {
- t=data[i];
- data[i]=data[j];
- data[j]=t;
- }
- }
- data[first]=data[i];
- data[i]=base;
- quicksort(data,first,i-1);
- quicksort(data,i+1,last);
- }
-
- int main()
- {
- int x[MAXNUM];
- int n = 0;
- double t1,t2;
- FILE *fp;
- fp = fopen("numbers.txt", "r");
- if(fp==NULL)
- {
- printf("打开文件错!请下载文件,并将之复制到与源程序文件同一文件夹下。\n");
- exit(1);
- }
- while(fscanf(fp, "%d", &x[n])!=EOF)
- n++;
- printf("数据量:%d, 开始排序....", n);
- t1=time(0);
- quicksort(x, 0, n-1);
- t2=time(0);
- printf("用时 %d 秒!", (int)(t2-t1));
- fclose(fp);
- return 0;
- }
第一种排序的运行结果如下:

用时达到12秒。
第二种排序方法运行结果如下:

同样的数据,第二种排序方法竟然在瞬间完成。
这样的结果让我们切实的体验到了复杂度在实际应用中的差异。
(2)汉诺塔
有一个印度的古老传说:在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片,这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜,总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片:一次只移动一片,不管在哪根针上,小片必须在大片上面。僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
可以算法出,当盘子数为n个时,需要移动的次数是f(n)=2n−1。n=64时,假如每秒钟移一次,共需要18446744073709551615秒。一个平年365天有31536000秒,闰年366天有31622400秒,平均每年31556952秒,移完这些金片需要5845.54亿年以上,而地球存在至今不过45亿年,太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年,不说太阳系和银河系,至少地球上的一切生命,连同梵塔、庙宇等,都早已经灰飞烟灭。据此,2n从数量级上看大得不得了。
用递归算法求解汉诺塔问题,其复杂度可以求得为O(2n),是指数级的算法。体验盘子数discCount为4、8、16、20、24时在时间耗费上的差异。
源代码如下:
- #include <stdio.h>
- #define discCount 4
- long move(int, char, char,char);
- int main()
- {
- long count;
- count=move(discCount,'A','B','C');
- printf("%d个盘子需要移动%ld次\n", discCount, count);
- return 0;
- }
-
- long move(int n, char A, char B,char C)
- {
- long c1,c2;
- if(n==1)
- return 1;
- else
- {
- c1=move(n-1,A,C,B);
- c2=move(n-1,B,A,C);
- return c1+c2+1;
- }
- }
当discount为4时,运行结果如下:

当discount为8时,运行结果如下:

似乎运行时间并没有多大差异
当discount为16时,运行结果如下:

当discount为20时,运行结果如下:

当discount为24时,运行结果如下:

这些次数,望而生畏,连程序计算都稍微卡顿了一下
当discount为26时

运行已经明显有将近2秒的延迟了
当discount为30时

程序整整运行了14秒之久,可见复杂度在实际应用中的差异。