23、超图与装箱博弈问题研究

超图与装箱博弈问题研究

有界度超图的 3 - 击中集问题

在有界度超图的 3 - 击中集问题中，我们关注一个特定算法的运行情况。该算法在超图 $H$ 的顶点数不超过 $4k - k^{0.2692}$ 时停止，步骤 0 - 5 的执行次数最多为 $k^{0.2692}$ 次，因此算法的运行时间为 $O(k^{1.2692})$。

为证明算法的正确性，我们进行如下分析：
1. 由于约简规则 1 - 3 是合理的，子例程 Reduce(H, k) 正确，算法的步骤 1 有效。
2. 若在步骤 2 中 $|B| > 6k^{0.2692}$，且 $|V| > 4k - k^{0.2692}$，根据引理 6 可知 $H$ 不存在大小至多为 $k$ 的击中集，算法可拒绝该实例，所以步骤 2 正确。
3. 若算法在步骤 5 中移除顶点 $v$，因为 $v \in V(H) - V(F)$，$v$ 与 $B$ 中任何坏顶点的距离大于 $\log_{3.6235} k$。又因为 $|V| > 4k - k^{0.2692}$，根据引理 10，存在排除 $v$ 的解，所以 $v$ 可安全地从 $H$ 中移除，步骤 5 正确，算法 Kernel - 3 - 3 - HS 也正确，返回的实例 $(H’, k’)$ 与实例 $(H, k)$ 等价。

为证明算法返回的实例大小至多为 $4k’ - k’^{0.2692}$，注意到算法仅在步骤 2 和 4 中返回等价实例：
- 若在步骤 2 中返回实例，实例大小显然至多为 $4k’ - k’^{0.2692}$。
- 若在步骤 4 中返回实例，$H$ 中的顶点数受限于 $4|B|^{2.56