爬楼梯

爬楼梯

文/康桥

摘自:《观念:改变人生的101个中国故事》 

【故事】

有一对兄弟,他们的家住在80楼。

一天,他们外出旅行回到家中,发现大楼停电了,而且暂时修不好!这个时候,他们想的只是希望能尽快回到家好好地洗个澡,休息一下。

于是,哥哥对弟弟说:“我们爬楼梯上去吧!”

说着,他们背着大行李包开始爬楼了。

爬到20楼的时候,他们开始觉得累了,哥哥说“包太重了,这样吧,我们把包放在这里,等来电以后坐电梯来拿。”于是,他们把行李放在了20楼。

一下子轻松多了,他们继续向上走。

兄弟俩有说有笑地爬着楼梯,但是这毕竟是与地球引力作对啊!到了40楼,两人累坏了。

一想到只爬了一半,两人不禁开始互相埋怨起来。一个说你考虑不周全,一个说你当时也没反对。他们便吵便爬,就这样一路爬到了60楼。

到了60楼,他们累得连吵架的力气也没有了。弟弟对哥哥说:“我们别吵了,一口气坚持爬完吧。”于是他们默默地继续爬楼,终于到80楼了!

兄弟俩兴奋地来到家门口,才发现他们的钥匙留在了20楼的包里了……

 


【酷评】珍惜每一个现在

有人说,这个故事其实反映了我们的人生:

20岁之前,我们活在家人、老师的期望之下,背负着很多的压力、包袱,自己不够成熟,能力也不足,因此步履难免不稳。

20岁之后,离开了众人的压力,卸下了包袱,开始全力以赴地追求自己的梦想,这样愉快地过了20年。

可是到了40岁,发现青春已逝,有好多遗憾和追悔,于是开始惋惜这个、抱怨这个、嫉恨那个……就这样在抱怨中又过了20年。

到了60岁,终于发现人生所剩不多了,于是告诉自己不要再抱怨了,珍惜剩下的日子吧!接着,默默地走完了余生。

到了生命的尽头,才想起自己好像有什么事情没来得及做!原来,我们所有的梦想都留在了20岁的青春岁月里,很多事还没有来得及完成。

事实还不止如此:楼爬得越高,眼中的事物也就越不一样,人生也是这样。我们往往在不经意间发现,一些小时候能看得很清楚的事物,年纪大了反而看不清楚了,就好比在楼层低的时候看到的景物是很清晰的,而楼层越高看到的景物也就越看不清楚了。这也是为什么一个8岁的小皇帝和80岁的老皇帝同样容易犯错误。

面对这个残酷的现实,我们只有在人生的不同阶段,做好每个阶段应该做的事,珍惜每一个现在。

### PTA平台上爬楼梯问题的扩展与解法 PTA平台上的爬楼梯问题是经典动态规划问题的一个变体,通常会增加一些额外条件或者改变规则。以下是针对此类问题的一些常见扩展及其解决方案。 #### 扩展一:每次可以上任意数量的台阶 如果允许一次上 `k` 个台阶(其中 `k` 是一个小于等于某个固定值的最大步数),则状态转移方程变为: \[ f(n) = \sum_{i=1}^{k} f(n-i),\quad (n > k)\] 对于 \( n \leq k \),可以直接计算可能的方法总数。例如,当最大步数为3时, ```python def climb_stairs_k_steps(n, max_step): if n == 0: return 1 dp = [0] * (n + 1) dp[0] = 1 for i in range(1, n + 1): for step in range(1, min(max_step, i) + 1): dp[i] += dp[i - step] return dp[n] ``` 此算法的时间复杂度为 \( O(n \cdot k) \)[^2]。 #### 扩展二:带有障碍物的爬楼梯问题 如果有某些特定位置存在障碍物,则无法通过这些位置。此时需要调整状态转移逻辑,在遇到障碍物的位置将其方法数设为零。 ```python def climb_stairs_with_obstacles(n, obstacles): dp = [0] * (n + 1) dp[0] = 1 for i in range(1, n + 1): if i in obstacles: dp[i] = 0 elif i >= 2: dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] else: dp[i] = dp[i - 1] return dp[n] ``` 上述代码中,`obstacles` 表示包含所有障碍物索引的集合[^3]。 #### 扩展三:带权值的路径计数 假如每一步都有一个权重,并希望求得总权重最小或最大的路径数目。这可以通过引入辅助数组存储当前最优路径对应的累积权重实现。 ```python def weighted_climb_stairs(n, weights): dp_count = [0] * (n + 1) dp_weight = [float('inf')] * (n + 1) dp_count[0], dp_weight[0] = 1, 0 for i in range(1, n + 1): for j in [1, 2]: if i - j >= 0 and dp_weight[i - j] + weights[i - 1] < dp_weight[i]: dp_weight[i] = dp_weight[i - j] + weights[i - 1] dp_count[i] = dp_count[i - j] elif i - j >= 0 and dp_weight[i - j] + weights[i - 1] == dp_weight[i]: dp_count[i] += dp_count[i - j] return dp_count[-1], dp_weight[-1] ``` 这里 `weights` 数组表示每个台阶的权重[^4]。 ### 总结 无论是基础版还是各种复杂的变形版本,“爬楼梯”类题目都可以归结为一种形式化的动态规划模型。理解其核心原理并灵活运用是解决这类问题的关键所在。
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