汉诺塔算法

汉诺塔是递归的一个非常典型的问题。

汉诺塔问题的描述是：有三根柱子（A、B、C），A柱子上有n个圆盘（由下到上逐个减小），现在要将A柱子上的n个圆盘移到C柱子上，可以借助B柱子，要求小圆盘上不能放大圆盘，并且每次只能移动一个圆盘。

首先让我们分析一下汉诺塔问题，汉诺塔可以用递归解决，要完成递归算法我们需要找到两个要素①、递归出口；②、组成大问题的子问题。

1、递归出口

显然汉诺塔的递归出口是当n=1时，我们只需要将A柱子上的圆盘直接拿到C柱子上就可以了。

2、大问题的子问题

这里我们不妨用当n=2时来推断出其子问题的规律。

当n=2时(即A柱子上有两个圆盘要移动到C柱子上)，我们需要做的是：

①：A----1---->B（将1号圆盘从A柱子移动到B柱子）

②：A----2---->C

③：B----1---->C

由此我们可以推断出汉诺塔的规律，即有n个圆盘时：

①：A----n-1---->B（将前n-1号圆盘由A柱子移动到B柱子上）

②：A----n---->C（将n号圆盘由A柱子移动到C柱子上）

③：B----n-1---->C（将前n-1号圆盘由B柱子移动到C柱子上）

得到两个递归条件之后我们可以写出递归算法的程序了，在这里笔者用C语言实现。

#include<stdio.h>

//递归函数(这里的想x可能是A柱子也可能是B柱子，y则与x在{A、B}柱子互斥，z则一定是C柱子)
//函数功能是借助y柱子将x柱子上的n个圆盘移到z柱子上
void hanoi(int n,char x,char y,char z) {

	if(n==1) {//递归出口
		printf("将编号为%d的盘子从%c柱子物体移动到%c柱子上\n",n,x,z);
	}else{//小块循环

		//将前n-1号圆盘由x柱子移动到y柱子上
		hanoi(n-1,x,z,y);
		//将n号圆盘由x柱子移动到z柱子上
		printf("将编号为%d的圆盘从%c柱子物体移动到%c柱子上\n",n,x,z);
		//将前n-1号圆盘由y柱子移动到z柱子上
		hanoi(n-1,y,x,z);
	}

}

int main(void) {
	char A = 'A';//第一根柱子
	char B = 'B';//第二根柱子
	char C = 'C';//第三根柱子

	int n;//需要移动圆盘的数量	
	scanf("%d",&n);//输入圆盘个数

	hanoi(n,A,B,C);	//调用递归函数
}

笔者认为汉诺塔问题比较抽象，我们要从分析递归问题的角度去解决汉诺塔问题，这样有利于我们快速掌握。还有一个扩展和大家分享一下（移动n个盘子的最少移动次数是：2^n - 1，大家不妨可以试一下）。使用递归就要用分治思想将要解决的问题简单化，“分治”是解决问题的战略思想，“递归”是编程中的战术手段。