递推最小二乘法，电池二阶rc等效电路参数辨识

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文章标签： 最小二乘法 算法 机器学习
于 2025-03-18 23:24:59 首次发布
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1. 递推最小二乘法，电池二阶rc等效电路参数辨识

任何版本matlab中均可以运行，包含电池工况数据，通过带遗忘因子递推的最小二乘法(ffrls)对电池的RC等效电路模型参数进行在线辨识

2. 参考代码

https://mbd.pub/o/bread/aJaWkpdx

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### 最小二乘法在电池参数辨识中的数学推导及应用 最小二乘法是一种经典的数值优化方法，广泛应用于系统参数估计中。在电池参数辨识领域，递推最小二乘法（Recursive Least Square, RLS）及其改进形式如遗忘因子最小二乘法（FFRLS）被用来实时估计电池模型中的未知参数。 #### 1. 电池模型的数学描述 在锂离子电池的参数辨识中，通常采用等效电路模型来描述电池的动态特性。例如，二阶RC等效电路模型可以表示为： \[ U_t = U_o + I \cdot R_0 + V_{C1} + V_{C2} \] 其中： - \( U_t \)：电池端电压； - \( U_o \)：开路电压； - \( I \)：电池电流； - \( R_0 \)：欧姆内阻； - \( V_{C1}, V_{C2} \)：两个电容上的电压[^2]。 #### 2. 模型离散化 为了便于使用递推最小二乘法进行参数辨识，需要将上述连续时间模型转化为离散时间模型。假设采样周期为 \( T_s \)，则可以通过 z 域变换得到离散化的数学关系式： \[ y(k) = a_1 y(k-1) + a_2 y(k-2) + b_0 u(k) + b_1 u(k-1) + b_2 u(k-2) \] 其中： - \( y(k) \)：第 k 时刻的输出（端电压）； - \( u(k) \)：第 k 时刻的输入（电流）； - \( a_1, a_2, b_0, b_1, b_2 \)：待辨识的模型参数[^2]。 #### 3. 参数向量定义 将上述离散模型重写为矩阵形式，便于利用最小二乘法进行参数估计。令参数向量 \( \theta \) 和回归向量 \( \phi(k) \) 分别定义为： \[ \theta = [a_1, a_2, b_0, b_1, b_2]^T \] \[ \phi(k) = [-y(k-1), -y(k-2), u(k), u(k-1), u(k-2)]^T \] 则离散模型可以表示为： \[ y(k) = \phi^T(k) \theta + v(k) \] 其中 \( v(k) \) 表示测量噪声[^2]。 #### 4. 最小二乘法的递推公式 递推最小二乘法的核心思想是通过不断更新参数估计值，使得残差平方和最小化。其递推公式如下： \[ \hat{\theta}(k) = \hat{\theta}(k-1) + K(k) [y(k) - \phi^T(k) \hat{\theta}(k-1)] \] 其中： - \( \hat{\theta}(k) \)：第 k 时刻的参数估计值； - \( K(k) \)：增益向量，定义为： \[ K(k) = P(k-1) \phi(k) [1 + \phi^T(k) P(k-1) \phi(k)]^{-1} \] - \( P(k) \)：协方差矩阵，更新公式为： \[ P(k) = [I - K(k) \phi^T(k)] P(k-1) \] 初始条件设置为 \( P(0) = \lambda I \) 和 \( \hat{\theta}(0) = 0 \)，其中 \( \lambda \) 是一个较大的正数[^3]。 #### 5. 遗忘因子最小二乘法 为了提高对时变系统的适应能力，遗忘因子最小二乘法引入了遗忘因子 \( \lambda \in (0, 1] \)，用于加权历史数据的重要性。其协方差矩阵更新公式为： \[ P(k) = \frac{1}{\lambda} \left[ I - K(k) \phi^T(k) \right] P(k-1) \] 遗忘因子的作用是减少旧数据的影响，使算法更关注近期数据。 #### 6. 应用实例 以二阶RC等效电路模型为例，假设已知一组电池端电压和电流的采样数据 \( \{y(k), u(k)\} \)，可以按照以下步骤实现参数辨识： 1. 初始化参数向量 \( \hat{\theta}(0) \) 和协方差矩阵 \( P(0) \)； 2. 对每组采样数据，计算回归向量 \( \phi(k) \)； 3. 根据递推公式更新参数估计值 \( \hat{\theta}(k) \) 和协方差矩阵 \( P(k) \)。 ```python import numpy as np # 初始化参数 theta_hat = np.zeros((5, 1)) # 参数向量 P = np.eye(5) * 1e6 # 协方差矩阵 lambda_f = 0.98 # 遗忘因子 # 数据输入 y = [...] # 端电压序列 u = [...] # 电流序列 for k in range(len(y)): phi = np.array([-y[k-1], -y[k-2], u[k], u[k-1], u[k-2]]).reshape(-1, 1) # 回归向量 K = P @ phi / (lambda_f + phi.T @ P @ phi) # 增益向量 theta_hat = theta_hat + K @ (y[k] - phi.T @ theta_hat) # 更新参数估计 P = (np.eye(5) - K @ phi.T) @ P / lambda_f # 更新协方差矩阵 ``` ###
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