数学-基础知识2

数学-基础知识2: 长方行、正方形、平行四边形、三角形、相似图形的面积、祖暅原理、长方体体积、四角锥体积、三棱柱、三棱锥、正三棱锥、$\pi$、圆、圆柱体、圆锥体、圆台、球体等

1、长方行、正方形

• 长方行是2d平面图形，一般教科书表示底部有a个面积为1的小正方形，纵向有b排，所以面积等于数值计算：a*b，最后加上小正方形的面积单位
• 正方形是特殊的长方形，底边a=侧边b，面积：$a^2$;
• 上面明显有冲突，变成了相互论证，所以长方形的面积通过小正方形只是大致推断，因为最小的单位小正方形并不是最小的，容易给别人错误印象：只有变长为整数才可以求长方形面积；
• 积分法，底边a，侧边b，从底部开始积分，每一小片面积都等于a，高度h，长方形面积${\int }_0^{b}a{d}_h=ah{|}_0^b=ab$；
• 底边a，侧边a，正方形面积${\int }_0^{a}a{d}_h=ah{|}_0^a=a^2$

2、平行四边形、三角形

• 平行四边形在一般教科书证明是以切掉一边的角，放到另外一边，补成长方形，然后面积：a*b；但是有些平行四边形是底边很短，高度很高，无法割补补全，所以补全法适用于一部份
• 积分法，底边a，高度b，从底部开始积分，每一小片面积都等于a，高度h，面积${\int }_0^{b}a{d}_h=ah{|}_0^b=ab$；
• 三角形一般证明是放两个三角形拼成平行四边形，这样面积就等于平行四边形的一半；
  积分法，底边a，总高度H，从顶点往下任意高度截断三角形，截面距离顶点高度为h, $\frac{f(h)}{a}=\frac{h}{H},=>f(x)=\frac{ah}{H}$，积分后$S={\int }_0^H\frac{ah}{H}{d}_h=\frac{a}{H}\ast \frac{h^2}{2}{|}_0^H=\frac{aH}{2}$；任意三角形满足规律

3、两个相似图形的面积比等于相似比的平方

• 假设有两个任意长方形，边长分别为：a\b, A\B; 并且$\frac{a}{A}=\frac{b}{B}=k$,那么面积$\frac{s_1}{s_2}=\frac{ab}{AB}=k^2$
• 如果是两个任意三角形，边长和高分别为：a\h, A\H; 并且$\frac{a}{A}=\frac{h}{H}=k$,那么面积$\frac{s_1}{s_2}=\frac{\frac{1}{2}ah}{\frac{1}{2}AH}=k^2$
• 如果是两个圆形，半径为r\R, 并且$\frac{r}{R}=k$, 那么面积$\frac{s_1}{s_2}=\frac{\pi r^2}{\pi R^2}=(\frac{r}{R}{)}^2=k^2$（圆面积公式在后面，不冲突）
• 如果是不规则图形的相似，可以把同一部位拆分成三角形，这个三角形是满足平方相似比的，那么整体也满足平方相似比
  

4、祖暅原理

• 幂势既同，则积不容异：两个同高的立体图形，如果在等高处的截面积相等，则这两个立体图形的体积相等
• 其实就是微分思想，只是单独提出
• 任意底相似体体积积分：任意规则形状、具有顶点的锥体：每个截面的面积和底部面积具有平方相似比，$\frac{f(x)}{S}=(\frac{x}{h}{)}^2=>f(x)=\frac{S\ast x^2}{h^2}$，由顶点到下积分，可以得到体积V$V={\int }_0^h\frac{S\ast x^2}{h^2}{d}_x=\frac{S\ast x^3}{3h^2}{|}_0^h=\frac{S\ast h}{3}$
  

5、长方体体积、四角锥体积

• 长方体体积为底面积高，一般也是说地面有a个体积为1点小正方形，高度b排，体积为ab；
• 其实按照微元法，长宽高为abc，从底部横向切割每一片的面积是s=ab，高度为h，增量为$d_h$，面积相等；${\int }_0^{c}ab{d}_h=abh{|}_0^c=abc$，也可以表示为sc（底面积*高）；也就是说一个长方体，把它扭弯折，只要每一片截面的面积相等，那么体积依然想等；
• 四角锥，每个截面的面积和底部面积具有平方相似比的规律，体积$V=\frac{S\ast h}{3}$；证明如上：任意底相似体体积积分

5、三棱柱、三棱锥、正三棱锥

• 棱柱底面积S，高度h，体积V=Sh
• 三棱锥，体积$V=\frac{S\ast h}{3}$；证明如上：任意底相似体体积积分
• 正三棱锥，各边长为a、各棱之间夹角为60°，一面的底线上的高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$, 顶点到地面垂心的高为$\frac{\sqrt{6}}{3}a$, 总体积为$V=\frac{1}{3}\ast \frac{3a^2}{4}\ast \frac{\sqrt{6}}{3}a=\frac{\sqrt{2}}{12}{a}^3$

6、$\pi$、圆

• $\pi$的定义十分重要，是一个常量，设圆周长为L，直径为d，$\pi =\frac{L}{d}$；（类似的，同样重要的还有重力加速度g，这些常量都是不需要证明和计算，也无法证明，来源于大量数据测算得到的规律）
• 圆周长，如果半径为r, $\pi =\frac{L}{d}=>L=\pi \ast d=\pi \ast 2r$
• 圆面积，三角形分割法，将圆切分成无数份的小扇形，扇形又可以近似看成一个三角形A，A的高度可以近似r，A的底为$dx$，A的面积$S_{dx}=\frac{r\ast dx}{2}$，总面积为$S_{圆}=\frac{r\ast (d{x}_1+d{x}_2+\cdot \cdot \cdot +d{x}_i)}{2}=\frac{r\ast 2\pi r}{2}=\pi r^2$
• 扇形面积，弧长L，边长R，面积=$\frac{RL}{2}$，其实类似于圆面积三角形分割法，只是总弧长从$2\pi r$变成L, 总面积为$S_{扇}=\frac{R\ast (d{x}_1+d{x}_2+\cdot \cdot \cdot +d{x}_i)}{2}=\frac{R\ast L}{2}$

7、圆柱体、圆锥体、圆台

• 底面半径r，高度h，总体积$V=\pi r^{2}h$
• 圆锥体，体积$V=\frac{S\ast h}{3}=\frac{\pi r^2\ast h}{3}$；证明如上：任意底相似体体积积分
• 圆台，上底半径r，下底半径R，高度H，如果补全为圆锥，顶点距离上底为h，那么按照比例$\frac{r}{R}=\frac{h}{H+h}=>h=\frac{rH}{R-r}$, 圆台体积的等于大圆锥减去小圆锥，$V=\frac{\pi R^2(h+H)-\pi r^{2}h}{3}=\frac{\pi }{3}(R^2(h+H)-r^{2}h)，带入h,V=\frac{\pi H}{3}(\frac{R^3-r^3}{R-r})=\frac{\pi H}{3}(\frac{(R-r)(R^2+R\ast r+r^2)}{R-r})=\frac{\pi H}{3}(R^2+R\ast r+r^2)$；（注：棱台的体积计算方式跟圆台类似）
• 圆台, 如果已知条件是上下底的面积$S_1,S_2$, $V=\frac{H}{3}(\pi R^2+\pi R\ast r+\pi r^2)=\frac{H}{3}((\sqrt{S_1}{)}^2+\sqrt{S_1}\ast \sqrt{S_2}+(\sqrt{S_2}{)}^2)=\frac{H}{3}(S_1+\sqrt{S_1{S}_2}+S_2)$，（注：棱台的体积计算方式跟圆台类似）

8、球体

• 如图，对于z轴正半轴，切片圆柱的面积S=$\pi (r^2-h^2)d_h$，对高度h积分，半球体积$V_h={\int }_0^r\pi (r^2-h^2)d_h=\pi (r^{2}h-\frac{1}{3}{h}^3){|}_0^r=\pi (r^2\ast r-\frac{1}{3}{r}^3)-0=\frac{2}{3}\pi r^3$，那么整个球体的体积$V=2V_h=\frac{4}{3}\pi r^3$
• 球的表面积1，利用体积公式，圆心为顶点切分无限多份，每一份又可以看作三棱锥（或者圆锥，同理）, 底面积为$S_i$，$V_{球i}=\frac{V_{锥i}}{3}=\frac{S_{锥i}r}{3}$，将所有三棱锥体积加起来，$V_{boll}={\sum }_{i=1}^{+\infty }\frac{S_{球i}r}{3}=\frac{S_{boll}r}{3}=\frac{4}{3}\pi r^3=>S_{boll}=4\pi r^2$
• 球的表面积2，切片圆柱，切片圆半径设为$r_1=\sqrt{r^2-h^2}$(示例图中为$r^{\prime }$), 弧长增量、高度增量、切片圆的半径增量的关系为$d_l=\sqrt{d_h^2+d_r^2}$, 同除以$d_h^2=>d_l=\sqrt{1+(\frac{d_r}{d_h}{)}^2}$, 而$\frac{d_r}{d_h}$就是$r_1$的导数$r_1^{{}^{\prime }}=\frac{-h}{\sqrt{r^2-h^2}}$, 所以把所有切片圆的周长加起来，微元$d_S=2\pi r_1{d}_l=2\pi \sqrt{r^2-h^2}{d}_l,变积分=>d_S=2\pi \sqrt{r^2-h^2}\ast \sqrt{1+(\frac{d_r}{d_h}{)}^2}{d}_h=2\pi \sqrt{r^2-h^2}\ast \sqrt{1+(\frac{-h}{\sqrt{r^2-h^2}}{)}^2}{d}_h=2\pi \sqrt{r^2-h^2}\ast \sqrt{\frac{r^2}{r^2-h^2}}{d}_h=2\pi r{d}_h$, 半球的表面积为$S_{半}={\int }_0^{r}2\pi r{d}_h=2\pi r\ast h{|}_0^r=2\pi r^2$, 球体总面积$S_{boll}=4\pi r^2$