uva 10294 - Arif in Dhaka (First Love Part 2) Polya定理

最新推荐文章于 2020-07-19 12:22:15 发布

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分类专栏： Polya定理组合数学文章标签：数论 Polya定理

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本文介绍了如何使用数学方法计算使用不同颜色珠子构成的独特手镯和项链的数量，涉及旋转和翻转的概念，并通过代码实现来解决此问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：n个珠子的项链和手镯，用t种颜色涂色，手镯可以翻转，问各有多少种不同的手镯和项链？

解析：

旋转：每移动i颗珠子，循环节为gcd（i，n），故ans1=sum（t^gcd(i,n)）,t为颜色种数；

翻转：奇：有n条对称轴，共（n+1）/2个循环节！　　ans2=n*t^(（n+1）/2)

　　　偶：1）穿过珠子有n/2条对称轴，有（n/2+1）个循环节！

　　　　　2）不穿过珠子也有n/2条对称轴，有n/2个循环节！　　ans2=n/2*(t^(n/2+1)+t^(n/2))

Polya定理和Burnside 引理的第一题，开始公式推错了，一直wrong ，后来发现是因为后面的Polya计数没看，与循环数有关，即旋转的时候循环数=gcd（n，i）；

其中n为点数，i为旋转间隔

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

typedef  long long LL;

LL gcd(LL a,LL b)
{
   return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

int main()
{
    int i;
    LL a,b,n,t;
    while(scanf("%lld%lld",&n,&t)==2&&n)
    {
       LL p[66]={0};
       p[1]=t;
       p[0]=1;
       for(i=2;i<=n;i++)
           p[i]=t*p[i-1];

        a=0;
       for(i=0;i<n;i++)
       {
          a+=p[gcd(n,i)];
       }

       if(n%2)
           b=n*p[(n+1)/2];
       else  b=n*(p[n/2+1]+p[n/2])/2;

       printf("%lld %lld\n",a/n,(a+b)/2/n);

    }
    return 0;
}