烷烃计数

很久以前就看过fanhq666的烷烃计数了，自己也写了一个。。。

http://fanhq666.blog.163.com/blog/static/819434262011719111345665/

http://oeis.org/A000602

做法是把建立烷烃和不标号的无根树（每个点度数不超过4）的双射，然后数无根树的个数。

树总有1-2个重心，先确定这个重心或是一条边两端点都是重心，分别计算两种情况。

然后就是n个点的有根树的计数了。

枚举重心下接了多少个点，这几个点的子树大小分别是多少。

之后用乘法原理就可以确定。

特殊地，子树大小一样时要把重复的去掉。（比如有两个为x的子树，这两个子树共有C(x+1,2)种选法。）

n个点的有根树的个数记为dp[n]，

用同样的方法枚举子树情况就可以计算。

//n烷个数？
//假装我写了BG的高精度运算。
#include <iostream>
#include <stdio.h>

using namespace std;

struct BG {
	int a[2300] , l;
};
int n;
int table[7] = {0,1,1,1,2,3};
BG dp[10200] , ans;
int C ( BG x , int y ) {
	int i;
	BG p;
	p.a[1] = 1; p.l = 1;
	for ( i = 1 ; i <= y ; i++ ) p = p * (x-i+1);
	for ( i = 1 ; i <= y ; i++ ) p = p / i;
	//cout << x << " " << y << " " << p << "#$" << endl;
	return p;
}
void work () {
	int i , j , k , l , o , a[5] , cnt;
	BG tmp , t;
	scanf ( "%d" , &n );
	if ( n <= 5 ) {
		printf ( "%d\n" , table[n] );
		return ;
	}
	dp[1].a[1] = 1; dp[2].a[1] = 1; dp[3].a[1] = 2; dp[1].l = dp[2].l = dp[3].l = 1;
	for ( i = 4 ; i <= n ; i++ ) {
		dp[i] += dp[i-1];
		//cout << dp[i] << " " << i << endl;
		for ( j = 1 ; j <= i ; j++ ) {
			k = i - 1 - j;
			if ( j > k ) break;
			if ( j < k ) {
				dp[i] += dp[j] * dp[k];
			}
			if ( j == k ) dp[i] += C ( dp[j] + 2 - 1 , 2 );
		}
		//cout << dp[i] << " " << i << endl;
		for ( j = 1 ; j <= i ; j++ ) {
			for ( k = j ; k <= i ; k++ ) {
				l = i - 1 - j - k;
				if ( k > l ) break;
				if ( j == k && k == l ) dp[i] += C ( dp[j] + 3 - 1 , 3 );
				else {
					if ( j == k ) dp[i] += C ( dp[j] + 2 - 1 , 2 ) * dp[l];
					else {
						if ( k == l ) dp[i] += dp[j] * C ( dp[k] + 2 - 1 , 2 );
						else dp[i] += dp[j] * dp[k] * dp[l];
					}
				}
			}
		}
		//cout << dp[i] << " " << i << endl;
	}
	//for ( i = 1 ; i <= 6 ; i++ ) cout << dp[i] << endl;
	if ( n % 2 == 0 ) {
		ans += C ( dp[n/2] + 2 - 1 , 2 );
	}
	//cout << ans << endl;
	for ( a[1] = 1 ; a[1] <= n ; a[1]++ ) {
		for ( a[2] = a[1] ; a[2] <= n ; a[2]++ ) {
			for ( a[3] = a[2] ; a[3] <= n ; a[3]++ ) {
				a[4] = n - 1 - a[1] - a[2] - a[3];
				if ( a[3] > a[4] ) break;
				if ( (n%2==1&&a[4]>n/2) || (n%2==0&&a[4]>=n/2) ) continue;
				//cout << a[1] << " " << a[2] << " " << a[3] << "  " << a[4] << endl;
				t = 1;
				tmp = dp[a[1]];
				cnt = 1;
				for ( o = 2 ; o <= 4 ; o++ ) {
					if ( a[o] == a[o-1] ) cnt++;
					else {
						tmp = C ( tmp + cnt - 1 , cnt );
						cnt = 1;
						t = t * tmp;
						tmp = dp[a[o]];
					}
				}
				t = t * C ( tmp + cnt - 1 , cnt );
				//cout << tmp + cnt - 1 << " " << tmp << " " << cnt << " " << t << endl;
				ans += t;
			}
		}
	}
	for ( a[1] = 1 ; a[1] <= n ; a[1]++ ) {
		for ( a[2] = a[1] ; a[2] <= n ; a[2]++ ) {
			a[3] = n - 1 - a[1] - a[2];
			if ( a[2] > a[3] ) break;
			if ( (n%2==1&&a[3]>n/2) || (n%2==0&&a[3]>=n/2) ) continue;
			//cout << a[1] << " " << a[2] << "  " << a[3] << endl;
			t = 1;
			tmp = dp[a[1]];
			cnt = 1;
			for ( o = 2 ; o <= 3 ; o++ ) {
				if ( a[o] == a[o-1] ) cnt++;
				else {
					tmp = C ( tmp + cnt - 1 , cnt );
					cnt = 1;
					t = t * tmp;
					tmp = dp[a[o]];
				}
			}
			t = t * C ( tmp + cnt - 1 , cnt );
			//cout << tmp + cnt - 1 << " " << tmp << " " << cnt << " " << t << endl;
			ans += t;
		}
	}
	for ( a[1] = 1 ; a[1] <= n ; a[1]++ ) {
		a[2] = n - 1 - a[1];
		if ( a[1] > a[2] ) break;
		if ( (n%2==1&&a[2]>n/2) || (n%2==0&&a[2]>=n/2) ) continue;
		t = 1;
		tmp = dp[a[1]];
		cnt = 1;
		for ( o = 2 ; o <= 2 ; o++ ) {
			if ( a[o] == a[o-1] ) cnt++;
			else {
				tmp = C ( tmp + cnt - 1 , cnt );
				cnt = 1;
				t = t * tmp;
				tmp = dp[a[o]];
			}
		}
		t = t * C ( tmp + cnt - 1 , cnt );
		//cout << tmp + cnt - 1 << " " << tmp << " " << cnt << " " << t << endl;
		ans += t;
	}
	printf ( "%d\n" , ans );
}
int main () {
	work ();
	return 0;
}

但这实际是不全的。

这只是无根树的计数，并没有计算烷烃的手性异构。

比如庚烷实际有11种同分异构体。

把图中的F、Cl、Br换成甲基、乙基、丙级就可以发现这两个不能旋转至重合。

但是高中化学不讲手性异构，所以。。。

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0747717105001057

似乎给出了计算方式。

（待填坑）