信奥题解：最大矩形纸片——单调栈的特点及示例分析

安祝老师

已于 2025-03-29 19:09:46 修改

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分类专栏： # 十四届蓝桥杯省赛真题解析文章标签：算法 c++ 蓝桥杯青少年编程

于 2024-10-18 23:53:44 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/hk_624/article/details/143064275

本文先介绍什么是单调栈，然后用一个简单的示例进行分析以加强理解，最后以十四届蓝桥杯省赛第四题"最大矩形纸片"为案例，分析多种不同的实现。

什么是单调栈

单调栈是一种常用的数据结构，主要用于解决需要维护一组元素的单调性问题，尤其是在求解“下一个更大元素”、“下一个更小元素”这类问题时，效率非常高，通常可以在线性时间内完成。单调栈的特点如下：

1. 单调性

单调栈可以分为两种类型：

单调递增栈：栈中的元素从栈底到栈顶保持递增，即越靠近栈顶的元素越大。
- 每当一个新元素小于栈顶元素时，栈顶元素会被弹出。
单调递减栈：栈中的元素从栈底到栈顶保持递减，即越靠近栈顶的元素越小。
- 每当一个新元素大于栈顶元素时，栈顶元素会被弹出。

注意：这里的“递增”或“递减”通常是指栈中存储的实际元素的值，但在某些问题中，也可以与这些元素的索引等信息结合使用。

2. 动态维护区间信息

单调栈擅长处理动态维护区间内的某种极值问题，例如：

找到数组中每个元素的最近的比它大或比它小的元素。
在不使用嵌套循环的情况下高效处理“下一更大/更小元素”的问题。

由于栈中的元素始终保持某种单调性，当遍历到一个新的元素时，可以通过不断弹出栈顶元素的方式来找到符合条件的区间边界。

3. 时间复杂度

单调栈的时间复杂度是 O(n)。虽然每个元素会被压入和弹出栈，但每个元素最多只会进栈和出栈一次，因此整体操作是线性的，非常高效。

4. 应用场景

单调栈广泛应用于很多经典的算法问题中，特别是需要快速找到某个元素在特定方向上的最大或最小值的情况。常见的应用包括：

下一个更大元素问题（Next Greater Element）
下一个更小元素问题（Next Smaller Element）
直方图中最大矩形问题（基于单调栈找出最大的矩形面积）
滑动窗口极值问题（滑动窗口中找出最大或最小值）

5. 栈操作与逻辑

单调栈的操作逻辑通常包括以下几个步骤：

遍历数组：按顺序遍历数组的每一个元素。
弹出栈顶元素：如果当前元素不符合栈的单调性（例如，对于单调递增栈，当前元素小于栈顶元素），则弹出栈顶元素，直到栈顶元素符合单调性为止。
处理弹出元素：通常在弹出栈顶元素时，可以得到一些问题的解（如弹出元素对应的最近更大或更小的元素）。
压入新元素：将当前元素压入栈，继续遍历下一个元素。

例子：单调递增栈的简单示例

假设我们需要找到数组中每个元素的下一个更大元素：

vector<int> nextGreaterElement(vector<int>& nums) {
   
   
    vector<int> result(nums.size(), -1); // 初始化结果数组，默认值为 -1
    stack<int> s;  // 单调递增栈，存储元素的索引
    
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
   
   
        // 当前元素比栈顶元素大，则弹出栈顶并处理
        while (!s.empty() && nums[i] > nums[s.top()]) {
   
   
            result[s.top()] = nums[i];  // 当前元素是栈顶元素的下一个更大元素
            s.pop();
        }
        // 将当前元素的索引压入栈
        s.push(i);
    }
    
    return result;  // 返回结果数组
}