编译原理--正则表达式

语言 L = { a } { a , b } ∗ ( { ϵ } ∪ ( { . , _ } { a , b } { a , b } ∗ ) ) L=\{a\}\{a,b\}^*(\{\epsilon \} \cup (\{.,\_\}\{a,b\}\{a,b\}^*)) L={a}{a,b}∗({ϵ}∪({.,_}{a,b}{a,b}∗))

这个语言是指，由a开头，后接任意长度的a、b串，然后再接空串（代表结束）。或者是接以.或_开头的，后接长度大于等于1的a、b串。

正则表达式（Regular Expression, RE）是一种用来描述正则语言的更紧凑的表示方法。

以上面的语言举例，写成正则表达式则可表示成：$r=a(a|b{)}^{\ast }(ϵ|(.{|}_{)}(a|b)(a|b{)}^{\ast })$

正则表达式可以由较小的正则表达式按照特定规则递归地构建。每个正则表达式r定义一个语言。记为L(r)。这个语言也是根据r的子表达式所表示的语言递归定义的。

定义

• 如果$ϵ$是一个RE， L ( ϵ ) = { ϵ } L(\epsilon) = \{\epsilon\} L(ϵ)={ϵ}
• 如果$\alpha \in \sum$，则$\alpha$是一个RE, L ( α ) = { α } L(\alpha)=\{\alpha\} L(α)={α}
• 假设r和s都是RE，表示的语言分别是L(r)和L(s)，则
  • $r|s$是一个RE，$L(r|s)=L(r)\cup L(s)$
  • rs（r连接s）是一个RE，$L(r|s)=L(r)L(s)$
  • $r^{\ast }$是一个RE，$L(r^{\ast })=(L(r){)}^{\ast }$
  • $(r)$是一个RE，$L((r))=L(r)$

注：运算的优先级：*、连接、|

例： ∑ = { a , b } \sum = \{a,b\} ∑={a,b}，则

• L ( a ∣ b ) = L ( a ) ∪ L ( b ) = { a } ∪ { b } = { a , b } L(a|b) = L(a) \cup L(b) = \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} L(a∣b)=L(a)∪L(b)={a}∪{b}={a,b}
• L ( ( a ∣ b ) ( a ∣ b ) ) = L ( a ∣ b ) L ( a ∣ b ) = { a , b } { a , b } = { a a , a b , b a , b b } L((a|b)(a|b)) = L(a|b)L(a|b) = \{a,b\}\{a,b\} = \{aa,ab,ba,bb\} L((a∣b)(a∣b))=L(a∣b)L(a∣b)={a,b}{a,b}={aa,ab,ba,bb}
• L ( a ∗ ) = ( L ( a ) ) ∗ = { a } ∗ = { ϵ , a , a a , a a a , . . . } L(a^*) = (L(a))^* = \{a\}^* = \{\epsilon,a,aa,aaa,...\} L(a∗)=(L(a))∗={a}∗={ϵ,a,aa,aaa,...}
• L ( ( a ∣ b ) ∗ ) = ( L ( a ∣ b ) ) ∗ = a , b ∗ = { ϵ , a , b , a a , a b , b a , b b , . . . } L((a|b)^*) = (L(a|b))^* = {a,b}^* = \{\epsilon,a,b,aa,ab,ba,bb,...\} L((a∣b)∗)=(L(a∣b))∗=a,b∗={ϵ,a,b,aa,ab,ba,bb,...}
• L ( a ∣ a ∗ b ) = L ( a ) ∪ L ( a ∗ b ) = L ( a ) ∪ L ( a ∗ ) L ( b ) = { a , b , a b , a a b , a a a b , . . . } L(a|a^*b) = L(a) \cup L(a^*b) = L(a) \cup L(a^*)L(b) = \{a,b,ab,aab,aaab,...\} L(a∣a∗b)=L(a)∪L(a∗b)=L(a)∪L(a∗)L(b)={a,b,ab,aab,aaab,...}

注：可以用RE定义的语言叫做正则语言(regular language)或正则集合(regular set)。

RE的代数定理

定律	描述
r | s = s | r	| 是可以交换的
r | (s | t) = (r | s) | t	| 是可以结合的
r ( s t ) = ( r s ) t	连接是可以结合的
r (s | t) = rs | rt	连接对 | 是可分配的
$ϵr=rϵ=r$	$ϵ$是连接的单位元
$r^* = (r	\epsilon)^*$
$r^{\ast \ast }=r^{\ast }$	*具有幂等性

正则文法与正则表达式等价

• 对任何正则文法G，存在定义同一语言的正则表达式r
• 对任何正则表达式r，存在生成同一语言的正则文法G